Cauchy-Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Sa 12.12.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] s_{n}=\bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] eine Cauchyfolge ist, und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Hallo,
bei der obigen Aufgabe verzweifele ich irgendwie langsam, obwohl sie wahrscheinlich ganz einfach ist. Ich habe versucht die Foge [mm] s_{n} [/mm] mit der Definition von Cauchyfolgen aus der Vorlesung zu zeigen, aber ich blicke bei diesen Epsilon-Beweisen noch nicht durch:-(.
Also: Für eine Cauchyfolge muss man doch zeigen, dass [mm] |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon.
[/mm]
[mm] |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon=> |\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n*(n+1)}-\summe_{i=1}^{m}\bruch{1}{m*(m+1)}|<\varepsilon
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter?
Viele Grüße,
Anette.
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> Zeigen Sie, dass die Folge [mm]s_{n}=\bruch{1}{1*2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n*(n+1)}[/mm] eine
> Cauchyfolge ist, und bestimmen Sie den Grenzwert.
> Hallo,
> bei der obigen Aufgabe verzweifele ich irgendwie langsam,
> obwohl sie wahrscheinlich ganz einfach ist. Ich habe
> versucht die Foge [mm]s_{n}[/mm] mit der Definition von Cauchyfolgen
> aus der Vorlesung zu zeigen, aber ich blicke bei diesen
> Epsilon-Beweisen noch nicht durch:-(.
> Also: Für eine Cauchyfolge muss man doch zeigen, dass
> [mm]|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon.[/mm]
> [mm]|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon=> |\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\red{i}*(\red{i}+1)}-\summe_{i=1}^{m}\bruch{1}{\red{i}*(\red{i}+1)}|<\varepsilon[/mm]
Hallo,
jetzt geht's richtig los.
Sei [mm] \varespsilon>0 [/mm] und N> ... (das überlegen wir später).
Für alle n,m mit [mm] n\ge [/mm] m>N gilt
[mm] |s_{n}-s_{m}|= |\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}-\summe_{i=1}^{m}\bruch{1}{i*(i+1)}|=|\summe_{i=m+1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}| [/mm] = --- jetzt kommt ein "Trick"!
[mm] ---=|\summe_{i=m+1}^{n}(\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1})| [/mm] = |...| = ....< .... < ....=.... [mm] <\varepsilon
[/mm]
Jetzt versuch mal ein bißchen weiter.
Bedenke, daß Du sicher irgendwo berücksichtigen mußt, daß n,m >N
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 12.12.2009 | | Autor: | anetteS |
Danke schön für die Tipps,dann probiere ich das mal:
[mm] |\summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)}|=|\summe_{i=m+1}^{n} (\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1})| \le \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=m+1}^{n}\bruch{1}{i+1}
[/mm]
ich hätte jetzt gerne so was wie [mm] \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] konvergiert gegen für n, m >N gegen eine Zahl, die < [mm] \varepsilon/2 [/mm] ist und die zweite Summe auch, damit dann die ganze Summe kleiner als [mm] \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2=\varepsilon/2 [/mm] ist.
An dieser Stelle wäre ich für einen weiteren Tipp sehr dankbar, da ich wirklich nicht weiß, wie ich hier weiter machen soll.
Danke schön,
viele Grüße, Anette
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Hallo anetteS,
> Danke schön für die Tipps,dann probiere ich das mal:
> [mm]|\summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)}|=|\summe_{i=m+1}^{n} (\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1})| \le \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i}[/mm]
> + [mm]\summe_{i=m+1}^{n}\bruch{1}{i+1}[/mm]
>
> ich hätte jetzt gerne so was wie [mm]\summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i}[/mm]
> konvergiert gegen für n, m >N gegen eine Zahl, die <
> [mm]\varepsilon/2[/mm] ist und die zweite Summe auch, damit dann die
> ganze Summe kleiner als [mm]\varepsilon/2[/mm] +
> [mm]\varepsilon/2=\varepsilon/2[/mm] ist.
> An dieser Stelle wäre ich für einen weiteren Tipp sehr
> dankbar, da ich wirklich nicht weiß, wie ich hier weiter
> machen soll.
> Danke schön,
> viele Grüße, Anette
Mit deiner Abschätzung oben hast du leider den schönen Trick von Angela kaputtgemacht  .
Schreib dir dochmal ein paar Glieder von
[mm] $\left|\summe_{i=m+1}^{n} \left(\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+1}\right)\right|$
[/mm]
auf. Dann kannst du sehen, dass du diese Summe schreiben kannst als Differenz zweier Terme, in denen keine Summen mehr enthalten sind! Denn geht da Abschätzen schnell!
Grüße,
Stefan
PS.: Tipp: Es hebt sich in der Summe ganz viel weg...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 So 13.12.2009 | | Autor: | anetteS |
Ach so, jetzt verstehe ich auch was der Trick sollte,
also wenn ich mir die Summenglieder aufschreibe, dann fällt alles weg, bis auf: [mm] \bruch{1}{m+1}-\bruch{1}{n+1}, [/mm] jetzt muss ich doch irgendwie benutzen, dass es für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N gibt [mm] \in \IN, \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N.
Heißt das, dass ich mir jetzt ein N wählen muss? Wenn ja, woher weiß ich, welches? Wenn ich mir die Terme, die übrig geblieben sind angucke, weiß ich zwar, dass sie für große m und n gegen Null gehen, aber ich kann doch kein bestimmtes N angeben, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 So 13.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Übrig bleibt also
$| [mm] \bruch{1}{m+1}-\bruch{1}{n+1}|$
[/mm]
Jetzt nutze aus, dass die Folge $(1/n)$ eine Cauchyfolge ist
FRED
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