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| Aufgabe | Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
a) Jede Cauchy-Folge [mm] (a_n) [/mm] in (X,d) ist beschränkt, d.h. es gibt ein M>0 und ein p [mm] \in [/mm] X mit [mm] a_n \in B_M(p) [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] IN.
b) Besitzt eine Cauchy-Folge in (X,d) eine konvergente Teilfolge mit Limes a [mm] \in [/mm] X, so konvergriert auch die Ausgangsfolge gegen a. |
Hallo liebe Community!
Die Definition einer offenen Kugel ist doch: [mm] B_r(a) [/mm] = {x [mm] \in [/mm] X: d(x,a) < r} beschreibt eine offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r.
Es gilt: [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent mit Limes a [mm] \in [/mm] X, falls
[mm] \forall (\varepsilon [/mm] > 0) [mm] \exists [/mm] (N [mm] \in [/mm] IN) [mm] \forall [/mm] (n [mm] \ge [/mm] N): [mm] d(a_n, [/mm] a) < [mm] \varepsilon [/mm]
Ist es sinnvoll dies zu zeigen oder sind wir da auf der falschen Spur?
Vielen Dank für alle Tipps!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 01.05.2016 | | Autor: | Reynir |
Ja, ihr seid auf der richtigen Spur.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 So 01.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ja, ihr seid auf der richtigen Spur.
das sind sie nicht
Fred
> Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 01.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
> a) Jede Cauchy-Folge [mm](a_n)[/mm] in (X,d) ist beschränkt, d.h.
> es gibt ein M>0 und ein p [mm]\in[/mm] X mit [mm]a_n \in B_M(p)[/mm] für
> alle n [mm]\in[/mm] IN.
> b) Besitzt eine Cauchy-Folge in (X,d) eine konvergente
> Teilfolge mit Limes a [mm]\in[/mm] X, so konvergriert auch die
> Ausgangsfolge gegen a.
> Hallo liebe Community!
>
> Die Definition einer offenen Kugel ist doch: [mm]B_r(a)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X: d(x,a) < r} beschreibt eine offene Kugel mit
> Mittelpunkt a und Radius r.
>
> Es gilt: [mm](a_n)[/mm] ist konvergent mit Limes a [mm]\in[/mm] X, falls
> [mm]\forall (\varepsilon[/mm] > 0) [mm]\exists[/mm] (N [mm]\in[/mm] IN) [mm]\forall[/mm] (n [mm]\ge[/mm]
> N): [mm]d(a_n,[/mm] a) < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ist es sinnvoll dies zu zeigen oder sind wir da auf der
> falschen Spur?
Ihr seid auf der falschen Spur. Beide Aufgabenteil haben Cauchyfolgen zur Voraussetzung.
Solche Folgen in metrischen Räumen müssen nicht konvergieren.
fred
>
> Vielen Dank für alle Tipps!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 02.05.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich meine schon, dass sie auf der richtigen Spur sind, weil sie die angegebene Definition (bei (b) Dreiecksungleichung) verwenden müssen bzw. können, um das Gefragte zu zeigen. Nebenbei habe ich keine Aussage über das Wie der Verwendung der Definition getroffen, weil ich warten wollte, ob noch mehr spezifische Nachfragen kommen. Zur (a) mal googeln. ;)
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich meine schon, dass sie auf der richtigen Spur sind,
ich nicht. Punkt
fred
> weil sie die angegebene Definition (bei (b)
> Dreiecksungleichung) verwenden müssen bzw. können, um das
> Gefragte zu zeigen. Nebenbei habe ich keine Aussage über
> das Wie der Verwendung der Definition getroffen, weil ich
> warten wollte, ob noch mehr spezifische Nachfragen kommen.
> Zur (a) mal googeln. ;)
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Di 03.05.2016 | | Autor: | Reynir |
Achso, ich dachte es wäre ihnen klar, dass Cauchy-Folgen nicht in jedem Raum konvergieren.
Viele Grüße,
Reynir
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Jetzt sind wir verwirrt, wir dachten, Cauchy-Folgen konvergieren generell!?
[mm] d(a_m, a_n) [/mm] < M würde ja bedeuten, dass eine C.-F. beschränkt ist. Dies ist also zu zeigen, oder? Wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 02.05.2016 | | Autor: | X3nion |
Cauchy-Folgen konvergieren im Körper der reellen Zahlen zum Beispiel bzgl. der Standardmetrik d(x,y) = |x-y|, bzgl. der arctan metrik beispielsweise nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt sind wir verwirrt, wir dachten, Cauchy-Folgen
> konvergieren generell!?
Nein, nur in vollständigen metrischen Räumen.
>
> [mm]d(a_m, a_n)[/mm] < M würde ja bedeuten, dass eine C.-F.
> beschränkt ist. Dies ist also zu zeigen, oder? Wie?
in teil a) ist zu zeigen,dass eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum beschränkt ist. sei [mm] (a_n) [/mm] eine solche.
dann gibt es ein N in den natürlichen Zahlen mit
d [mm] (a_n,a_N)<1 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
hilft das weiter ?
um b) kümmern wir uns später.
fred
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Wir haben uns folgendes zur Aufgabe (a) überlegt:
Es gilt [mm] d(a_n, a_N) [/mm] > 1 für n [mm] \ge [/mm] N.
Bei nicht metrischen Räumen gilt: [mm] |a_n| \le |a_n, a_N| [/mm] + [mm] |a_N| \le [/mm] M für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Wie kann man dies bei den metrischen Räumen anwenden?
Folgendes haben wir zur Teilaufgabe b):
[mm] (x_n) [/mm] ist Cauchy-folge mit konvergenter Teilfolge [mm] (x_n_k) \to [/mm] x
[mm] \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists [/mm] N<0, sodass [mm] d(x_m, x_n) [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle m, n > N gilt. Da die Teilfolge konvergiert existiert [mm] n_0 [/mm] > N mit d(x, x_n0) [mm] \bruch{\varepsilon}{2} \Rightarrow d(x_n, [/mm] x) [mm] \le d(x_n, [/mm] s_n0) + d(x_n0, x) < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon, [/mm] für alle n [mm] \le [/mm] N
Ist das sinnvoll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 03.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Also zur Aufgabe a)
Sei wie Fred schon sagte [mm] a_{n} [/mm] eine C.F.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] =1 existiert dann ein N [mm] \in \IN [/mm] so dass für alle n,m [mm] \ge [/mm] N
[mm] d(a_{n},a_{m}) [/mm] <1
Nun setze [mm] M=1+max\{d(a_{N},a_{j}): j=1,...,N-1 \}
[/mm]
Was gilt dann für M??
Und was gilt dann weiter für [mm] a_{n}:n \in \IN [/mm]
Bezüglich [mm] B_{M}(p)??
[/mm]
Zur Aufgabe b)
Wenn ihr die richtigen Bezeichnungen wählen würdet, würde es Sinn ergeben!
Was ist denn hier x?? Laut Aufgabenstellung ist der Grenzwert der Teilfolge doch a!!
LG
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