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Cauchy-Folgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Di 10.01.2012
Autor: sunnygirl26

Aufgabe
Sei r= [mm] (rn)n\in \IN \in \IQ^\IN [/mm] rekursiv definiert durch r1 = 1 und rn+1= [mm] 1+\bruch{1}{1+rn} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
Zeige, dass r eine Cauchy Folge ist.

Ich weiß leider noch nicht wie ich das genau machen soll. Die Definition ist ja klar aber wie ioch die anwende noch nicht so 100% und besonders verwirrt mich die rekursiv definierte Folge

Vielleicht kann mir ja jemand das erklären

        
Bezug
Cauchy-Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:47 Mi 11.01.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei r= [mm](r_n)n\in \IN \in \IQ^\IN[/mm] rekursiv definiert durch
> [mm] $r_1 [/mm] = 1$ und [mm]r_{n+1}= 1+\bruch{1}{1+r_n}[/mm] für [mm]n \ge 1[/mm].
>  Zeige, dass r eine Cauchy Folge ist.
>  Ich weiß leider noch nicht wie ich das genau machen soll.
> Die Definition ist ja klar aber wie ioch die anwende noch
> nicht so 100% und besonders verwirrt mich die rekursiv
> definierte Folge
>  
> Vielleicht kann mir ja jemand das erklären

Du musst für den Nachweis doch den Ausdruck

[mm] |r_n-r_m| [/mm]

irgendwie abschätzen. Fang dazu mit [mm] |r_{n+1}-r_n| [/mm] an!

Tipp:  [mm] r_{n+1}= \bruch{2+r_n}{1+r_n} > 1[/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 1$.

  Viele Grüße
    Rainer

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Cauchy-Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mi 11.01.2012
Autor: sunnygirl26

Also ich hab das jetzt so abgeschätzt:
|rn+1 - rn|= [mm] |\bruch{2+rn}{1+rn}-rn| [/mm] = [mm] |\bruch{2- rn^2}{1+ rn} [/mm] | < [mm] |\bruch{2}{rn}-rn [/mm] | < [mm] |\bruch{2}{rn} [/mm] |   [mm] \Rightarrow \bruch{2}{rn} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] < rn

Ist das so richtig?

Und wenn ja wie mache ich da jetzt weiter. Ich muss ja nun jetzt zeigen das [mm] \bruch{2}{\varepsilon} [/mm] < rn gilt.

Mache ich das nicht durch Induktion nach n?


Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 11.01.2012
Autor: leduart

Hallo
Du kannst nicht erwarten, dass so me grobe Abschätzung klappt.
dass [mm] 2/r_n<\epsilon [/mm] sein soll, wo man direkt sieht, dass [mm] r_n>1 [/mm] für alle n gilt kannst du nicht erwarten!
vielleicht hilft dir, wenn du erst den GW errechnest  unter der Annahme, dass er existiert.
Gruss leduart

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Cauchy-Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Do 12.01.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Also ich hab das jetzt so abgeschätzt:
>  |rn+1 - rn|= [mm]|\bruch{2+rn}{1+rn}-rn|[/mm] = [mm]|\bruch{2- rn^2}{1+ rn}[/mm]
> | < [mm]|\bruch{2}{rn}-rn[/mm] | < [mm]|\bruch{2}{rn}[/mm] |   [mm]\Rightarrow \bruch{2}{rn}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \gdw \bruch{2}{\varepsilon}[/mm] < rn

Es wäre hilfreich, wenn du die Indizes richtig schreiben würdest...

Deine Ungleichungskette ist nicht ganz richtig:

[mm] |r_{n+1} - r_n|= |\bruch{2+r_n}{1+r_n}-r_n| = >\bruch{2- r_n^2}{1+ r_n}| < |\bruch{2}{r_n}-r_n|[/mm]

stimmt, aber der nächste Schritt stimmt nur für [mm] $r_n<2$, [/mm] was du noch nicht nachgeweisen hast.

Aber wenn [mm] $r_n<2$, [/mm] kannst du deine Bedingung [mm]\bruch{2}{\varepsilon}
Was ich meinte, war

[mm]|r_{n+1}-r_{n}| = \left|1+\bruch{1}{1+r_n} -1 - \bruch{1}{1+r_{n-1}}\right| [/mm]

durch [mm] $|r_{n}-r_{n-1}|$ [/mm] auszudrücken, dann per Induktion durch [mm] $|r_1-r_0|$, [/mm] und damit eine Abschätzung für [mm] $|r_n-r_m|$ [/mm] abzuleiten.

  Viele Grüße
    Rainer

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Cauchy-Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mi 11.01.2012
Autor: ullim

Hi,

das Iterationsverfahren ist definiert durch

[mm] x_{n+1}=f(x_n) [/mm] mit [mm] f(x)=1+\bruch{1}{1+x} [/mm]

Zeige das gilt [mm] \left|f(x)-f(y)\right|
daraus folgt dann [mm] \left|x_{n+1}-x_n\right|
Daraus kann man schliessen das [mm] \left|x_m-x_k\right|<\bruch{c^{k-1}-c^{m-1}}{1-c}\left|x_2-x_1\right| [/mm] gilt für m>k

also [mm] \left|x_m-x_k\right|->0 [/mm] für [mm] k->\infty [/mm]

Damit ist [mm] x_n [/mm] eine Cauchyfolge

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