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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:57 Do 07.07.2005 | | Autor: | Diirki |
Vorab die Formalitäten:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
;)
Und nun zur Frage:
Weiss einer, wie ich gekonnt den Satz von Cauchy-Hadamard herleiten könnte, der da besagt:
Der Konvergenzradius einer Potenzreihe P(x) ist R = 1/L mit
L= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{ |a_{n} |}
[/mm]
für P(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
[/mm]
???
MfG und Danke schon im Voraus für die Hilfe
Dirk
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> Und nun zur Frage:
> Weiss einer, wie ich gekonnt den Satz von Cauchy-Hadamard
> herleiten könnte, der da besagt:
Hallo,
ich bin mir sicher, daß das in diversen Büchern nachzulesen ist, ob "gekonnt", weiß ich allerdings nicht...
Ich hab' mal in meinem Skript nachgeschaut:
Es werden 3 Fälle untersucht.
1. [mm] \wurzel[n]{ |a_{n} |} [/mm] ist unbeschränkt
2. [mm] \wurzel[n]{ |a_{n} |} [/mm] konvergiert gegen Null
3. [mm] \wurzel[n]{ |a_{n} |} [/mm] ist beschränkt und keine Nullfolge.
zu1. Es wird gezeigt, daß unter dieser Voraussetzung [mm] a_n(x-a)^n [/mm] keine Nullfoge ist und die Potenzreihe folglich divergent.
zu2. Es folgt daß [mm] \wurzel[n]{ |a_{n} | |x-a|^n} [/mm] Nullfolge ist, hieraus die absolute Konvergenz der Potenzreihe.
zu3. Hier wird der lim sup [mm] \wurzel[n]{ |a_{n} |} [/mm] :=s betrachtet.
und gezeigt: Konvergenz der Potenzreihe für |x-a|< [mm] \bruch{1}{s}, [/mm] Divergenz für |x-a|> [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
Dies als kleine Hinweise. Schaffst Du es so schon? Ansonsten, wie gesagt: schlaues Buch. Ich denke, es ist müßig, diese Dinge, die bestimmt vielfach gedruckt vorliegen, abzutippen, oder?
Oder hängst Du an einer bestimmten Stelle fest, verstehst einen bestimmten Schritt in einem Dir vorliegenden Beweis nicht?
Gruß v. Angela
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