Cauchy-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 30.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folgen
[mm] a_n=\frac{1}{2n+1} [/mm] und [mm] b_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}
[/mm]
Cauchy-Folgen sind. Geben Sie zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{\epsilon} [/mm] so an, dass das Cauchy-Kriterium erfüllt
ist. |
Zunächst [mm] a_n:
[/mm]
sei m>n dann soll gelten [mm] |a_n-a_m|\le\epsilon [/mm] . Diese Gleichung soll ich nun nach n oder m auflösen und dann untersuchen ob die Ungleichung erfüllt ist?
Ich komme allerdings nicht weit ^^
[mm] |a_n-a_m|=|\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2m+1}|=\frac{2m-2n}{(2n+1)(2m+1)}|
[/mm]
Wie geht es hier weiter?
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Hallo bigalow,
> Zeigen Sie, dass die Folgen
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> [mm]a_n=\frac{1}{2n+1}[/mm] und [mm]b_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}[/mm]
>
> Cauchy-Folgen sind. Geben Sie zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> [mm]n_{\epsilon}[/mm] so an, dass das Cauchy-Kriterium erfüllt
> ist.
> Zunächst [mm]a_n:[/mm]
>
> sei m>n dann soll gelten [mm]|a_n-a_m|\le\epsilon[/mm] . Diese
> Gleichung soll ich nun nach n oder m auflösen und dann
> untersuchen ob die Ungleichung erfüllt ist?
>
> Ich komme allerdings nicht weit ^^
>
> [mm]|a_n-a_m|=|\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2m+1}|=\frac{2m-2n}{(2n+1)(2m+1)}|[/mm]
>
> Wie geht es hier weiter?
Nimm [mm] $m\ge n>n_{\varepsilon}$ [/mm] an, dann ist
[mm] $|a_n-a_m|=\left|\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2m+1}\right|=\frac{|2m-2n|}{(2n+1)(2m+1)}$
[/mm]
Soweit ist das ok!
[mm] $=\frac{2|m-n|}{(2n+1)(2m+1)}\le \frac{2|m|}{(2n+1)(2m+1)}=\frac{2m}{(2n+1)(2m+1)}\le\frac{2m}{(2n_{\varepsilon}+1)(2m+1)}\le\frac{2m}{2n_{\varepsilon}\cdot{}2m}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2n_{\varepsilon}}\overset{!}{<}\varepsilon$ [/mm] ...
Damit solltest du dein [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] angeben können
Aber dies ist alles eine NR für das Schmierblatt, um das [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] zu bekommen, wenn du's sauber aufschreibst, bringe alles in die richtige Reihenfolge ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 30.08.2008 | | Autor: | bigalow |
Vielen Dank für die Antwort!
Wenn ich analog dazu [mm] b_n [/mm] betrachte gelange ich zu:
[mm] \frac{(-1)^{n_{\epsilon}}}{2n_{\epsilon}}<\epsilon
[/mm]
Richtig? Wenn ja wie löse ich das ?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die Antwort!
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> Wenn ich analog dazu [mm]b_n[/mm] betrachte gelange ich zu:
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> [mm]\frac{(-1)^{n_{\epsilon}}}{2n_{\epsilon}}<\epsilon[/mm]
Hmm, wie genau kommst du darauf?
>
> Richtig? Wenn ja wie löse ich das ?
Ich erhalte zumindest - ohne Gewähr - etwas anderes, wiederum mit der Annahme [mm] $m\ge n>n_{\varepsilon}$ [/mm] erhalte ich, je nachdem, ob $m-n$ gerade oder ungerade ist:
[mm] $|b_n-b_m|=\begin{cases} \frac{2|m-n|}{(2m+1)(2n+1)}, & \mbox{für } m-n \mbox{ gerade} \\ \frac{2|m+n+1|}{(2m+1)(2n+1)}, & \mbox{für } m-n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Im ersten Fall erhältst du analog zu dem Beweis für [mm] $a_n$ [/mm] ein [mm] $n_{\varepsilon_1}$, [/mm] im zweiten Fall musst du nochmal abschätzen und bekommst ein [mm] $n_{\varepsilon_2}$
[/mm]
Dann nehme insgesamt das [mm] $\max$ [/mm] der beiden, also [mm] $n_{\varepsilon}:=\max\left\{n_{\varepsilon_1}, n_{\varepsilon_2}\right\}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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