Cauchy-Kriterium für Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] die reele Folge mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{n+1}{2n-1}. [/mm] Zeigen Sie die Konvergenz der Folge mithilfe des Cauchy-Kriteriums. |
Also ich dachte, das wäre einfach, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Klar ist das Cauchy-Kriterium: "Für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0, [/mm] so dass [mm] \left | a_n - a_n_0 \right [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] gilt für alle n > [mm] n_0."
[/mm]
Sei also [mm] \epsilon [/mm] > 0. Nach ein bißchen rumprobieren denke ich, daß [mm] n_0 [/mm] > [mm] \frac{1}{\epsilon} [/mm] reichen sollte. Wenn ich jetzt in obige Ungleichung einsetze, erhalte ich einen Ausdruck der sich dann vereinfach läßt zu:
[mm] \left | \frac{3n_0 - 3n}{(2n-1)*(2n_0 -1)} \right [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Wenn ich das Cauchy-Kriterium richtig verstanden habe, sollte diese Ungleichung also für alle [mm] n>n_0 [/mm] wahr sein, wenn [mm] n_0>\frac{1}{\epsilon} [/mm] ist. Aber das kann ich aus dieser Ungleichung eigentlich nicht sehen...
Frage also: Ist der Ansatz richtig und wie komme ich über diese Klippe oder: Ist der ganze Ansatz falsch und wie macht man's gegebenenfalls besser?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mo 05.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Deine Formuliering des Cauchykriteriums ist nicht richtig !
Richtig:
Cauchy-Kriterium: "Für jedes $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein $ [mm] n_0, [/mm] $ so dass $ [mm] \left | a_n - a_m \right [/mm] $ | < $ [mm] \epsilon [/mm] $ gilt für alle n,m > $ [mm] n_0." [/mm] $
FRED
Tipp: in Deiner Aufagbe kannst Du O.B.d.A. annehmen, dass m>n ist, m ist also von der Form m = n+k
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Di 06.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Danke erstmal für die Antwort, auch wenn ich noch nicht wirklich weiter bin. Wenn ich nach Deinem Vorschlag vorgehe, dann lautet der Ansatz:
[mm] \left| \frac{n+1}{2n-1} - \frac{n+k+1}{2(n+k)-1} \right| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Das kann ich vereinfachen zu:
[mm] \left| \frac{3k}{(2n-1)(2n+2k-1)} \right| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Die Betragsstriche könnte man noch weglassen, da Zähler und Nenner positiv sind, oder? Und da habe ich das Gefühl, wieder an derselben Stelle zu scheitern, da ich aus dieser Ungleichung irgendwie gar nix schließen kann...
Also Frage: Bin ich bis hierher richtig und wie ist der nächste Schritt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Di 06.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Antwort, auch wenn ich noch nicht
> wirklich weiter bin. Wenn ich nach Deinem Vorschlag
> vorgehe, dann lautet der Ansatz:
>
> [mm]\left| \frac{n+1}{2n-1} - \frac{n+k+1}{2(n+k)-1} \right|[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> Das kann ich vereinfachen zu:
>
> [mm]\left| \frac{3k}{(2n-1)(2n+2k-1)} \right|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Die Betragsstriche könnte man noch weglassen, da Zähler
> und Nenner positiv sind, oder? Und da habe ich das Gefühl,
> wieder an derselben Stelle zu scheitern, da ich aus dieser
> Ungleichung irgendwie gar nix schließen kann...
>
> Also Frage: Bin ich bis hierher richtig und wie ist der
> nächste Schritt???
Jetzt muß man geschickt abschätzen. Mache Dir klar, dass
[mm] $\frac{3k}{2n+2k-1} \le [/mm] 2$
ist für jedes n und jedes k. Dann ist
$| [mm] \frac{n+1}{2n-1} [/mm] - [mm] \frac{n+k+1}{2(n+k)-1}| \le \bruch{2}{2n-1} \le \bruch{2}{n}$
[/mm]
Findest Du nun zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 [/mm] mit
[mm]\left| \frac{n+1}{2n-1} - \frac{n+k+1}{2(n+k)-1} \right|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
für n> [mm] n_0 [/mm] und jedes k ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Okay, die Äbschätzungen habe ich alle verstanden, auch wenn ich niemals selbst drauf gekommen wäre...
Dann sollte also gelten, daß für [mm] \epsilon [/mm] > 0 [mm] n_0 [/mm] > [mm] \frac{2}{\epsilon} [/mm] sein muß, richtig?
Falls das stimmt, habe ich's dann wohl verstanden...
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Hallo Limaros,
> Okay, die Äbschätzungen habe ich alle verstanden, auch
> wenn ich niemals selbst drauf gekommen wäre...
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> Dann sollte also gelten, daß für [mm]\epsilon[/mm] > 0 [mm]n_0[/mm] >
> [mm]\frac{2}{\epsilon}[/mm] sein muß, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Falls das stimmt, habe ich's dann wohl verstanden...
Das kannst du ja selber überprüfen.
Mit [mm] $n_0>\frac{2}{\varepsilon}$ [/mm] gilt für [mm] $n>n_0$ [/mm] in der letzten Abschätzungkette oben dann:
$... [mm] \le\frac{2}{n}<\frac{2}{n_0}<\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=\varepsilon$
[/mm]
Also genauso, wie die Abschätzungskette enden sollte 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Limaros |
Na, dann danke an alle Beteiligten...
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