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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mi 06.04.2005 | | Autor: | baddi |
Hi zusammen, war gerade ein bisle entmutigt, da ich nach Internetrecheche
dass Cauchy-Produkt immer noch nicht richtig erfasst habe.
Freundin gab mir jetzt wieder einen Stups hier zu posten :)
Definition vom Cauchy-Produkt - so steht es bei uns im Script - is ja:
[mm] $\summe_{k=0}^{ \infty}$ a_k [/mm] * [mm] $\summe_{l=0}^{ \infty}$ b_l [/mm] =
[mm] $\summe_{n=0}^{ \infty}$ [/mm] ( [mm] $\summe_{k+l=n}^{ }$ a_k*b_{l-k} [/mm] )
(Vorrausetzung
[mm] $\summe_{k=0}^{ \infty}$ a_k [/mm] und
[mm] $\summe_{l=0}^{ \infty}$ b_l [/mm] sind absolut konvergent )
Was mich darn z.B. irritiert ist, dass ich für
[mm] $\summe_{k+l=n}^{ }$ a_k*b_{l-k}
[/mm]
nicht weiss wie der Index läuft. Wo ist die obere Grenze?
wie wird n auf k und l verteilt ?
Wie wende ich das Cauchy-Produkt an ?
Ein einfaches Übungsbeispiel habe ich leider nicht gefunden, waren mir alle zu kompliziert :-o
LGrüße Sebastian
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Hallo Sebastian,
> Definition vom Cauchy-Produkt - so steht es bei uns im
> Script - is ja:
[mm](\summe_{k=0}^{ \infty}a_k) * (\summe_{l=0}^{ \infty}b_l) =\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]
So sollte das Cauchy-Produkt ausschauen. Dann sieht man auch wie der Index läuft 
> (Vorrausetzung
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}[/mm] [mm]a_k[/mm] und
> [mm]\summe_{l=0}^{ \infty}[/mm] [mm]b_l[/mm] sind absolut konvergent )
...dann konvergiert auch das Cauchy Produkt
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]
und zwar absolut.
> Wie wende ich das Cauchy-Produkt an ?
>
> Ein einfaches Übungsbeispiel habe ich leider nicht
> gefunden, waren mir alle zu kompliziert :-o
Du könntest z.B. [mm]e^x*e^y=e^{x+y}[/mm] über die Reihendarstellung der e-Funktion zeigen.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 06.04.2005 | | Autor: | baddi |
Jo :) erstmal danke mathemaduenn,
So verstehe ich schon mal die Syntax, aber das Beispiel konnte ich noch
nicht zu Ende rechnen.
>Definition vom Cauchy-Produkt
> [mm](\summe_{k=0}^{ \infty}a_k) * (\summe_{l=0}^{ \infty}b_l) =\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]
> Du könntest z.B. [mm]e^x*e^y=e^{x+y}[/mm] über die
> Reihendarstellung der e-Funktion zeigen.
Ersmal habe ich nachgewiesen das die e-Funktion absout konvergiert.
Also
[mm] e^x [/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
absout konvergiert, weil das Wurzelkriterium
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^n}{n!}|} = 0[/mm]
ist.
Ja warum? Weil man sieht
[mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] < 1
Wie zeige ich eigentlich das n! > [mm] x^n [/mm] ?
Klar ist das schon, aber vielelleicht gibts ne elegante Methode?
Danach konnte ich also das Cauchy-Produkt anwenden.
Zu zeigen ist das:
[mm][/mm]
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}) [/mm] $
*
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{y^n}{n!}) [/mm] $
=
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(x+y)^n}{n!}) [/mm] $
Leider kann ich aus der abs. Konvergenz von [mm] e^x [/mm] und [mm] e^y [/mm] mittels des
Cauchy-Produkts bisher nur folgern:
[mm] e^x [/mm] * [mm] e^y [/mm]
=
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} (
\summe_{k=0}^{n}
\bruch{x^k}{ k! } * \bruch{y^{n-k}}{(n-k)!}
)[/mm]
P.S:Wird oben nicht richtig dargestellt. Ich weiss nicht warum.
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Hallo Sebastian!
Dass [mm] \summe_{n=0}^\infty\bruch{|x|^n}{n!} [/mm] konvergiert sieht man am einfachsten aus dem Quotientenkriterium:
Es genügt zu zeigen, dass [mm] \lim_{n\to\infty} (\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!}):(\bruch{|x|^{n}}{n!})<1. [/mm] Wegen [mm] \bruch{|x|}{n+1}\to{}0 [/mm] für alle [mm]x\in\IC[/mm] gilt das aber.
[mm] e^{x+y}=e^{x}e^{y} [/mm] zeigt man am einfachsten, wenn man beides erstmal ein bisschen umformt. Die rechte Seite hast du ja schon. Und auf der linken Seite macht man sich [mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^ky^{n-k} [/mm] zunutze.
Kommst du damit durch?
banachella
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