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| Aufgabe | Beweisen Sie mit dem Cauchyprodukt für [mm] z\in\IC, [/mm] $|z|<1$:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}n^2z^{n-1}=\frac{1+z}{\left(1-z\right)^3}$$
[/mm]
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N'abend zusammen,
Wir haben schon bewiesen, dass [mm] $\frac{1}{\left(1-z\right)^{k+1}}=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}z^n$ [/mm] für alle $|z|<1$ und alle [mm] $k\in\IN_{0}$.
[/mm]
Für $k=2$ setze ich dann in die neue Gleichung ein:
[mm] $(1+z)*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+2 \\ 2}z^n=(1+z)*\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n$
[/mm]
Jetzt habe ich den Tipp bekommen, dass ich $(1+z)$ als Reihe darstellen soll: [mm] $(1+z)=(1+z)*(1-z)*\frac{1}{1-z}=(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n$
[/mm]
Dann ist:
[mm] $(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n$
[/mm]
Als Cauchyprodukt ist das dann:
[mm] $(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\summe_{k=0}^{n}\frac{(k+1)(k+2)}{2}=(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\frac{(n+1)(n^2+5n+6)}{6}$
[/mm]
Aber jetzt hänge ich, das ist ja nicht dasselbe wie die linke Seite, die ich ja erreichen möchte.
Was mache ich falsch und wie muss ich vorgehen?
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Beweisen Sie mit dem Cauchyprodukt für [mm]z\in\IC,[/mm] [mm]|z|<1[/mm]:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n^2z^{n-1}=\frac{1+z}{\left(1-z\right)^3}[/mm]
>
>
> N'abend zusammen,
>
> Wir haben schon bewiesen, dass
> [mm]\frac{1}{\left(1-z\right)^{k+1}}=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}z^n[/mm]
> für alle [mm]|z|<1[/mm] und alle [mm]k\in\IN_{0}[/mm].
Wenn ihr das schon bewiesen habt, frage ich mich was ihr hier mit dem Cauchyprodukt machen wollt. Ausser es ist gemeint, $1 + z = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] zu schreiben (also [mm] $a_0 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] = 1$, [mm] $a_n [/mm] = 0$ fuer $n [mm] \ge [/mm] 2$) und damit das Produkt von $1 + z$ und der Reihe fuer [mm] $\frac{1}{(1 - z)^3}$ [/mm] auszurechnen.
> Für [mm]k=2[/mm] setze ich dann in die neue Gleichung ein:
>
> [mm](1+z)*\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+2 \\ 2}z^n=(1+z)*\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n[/mm]
Genau.
> Jetzt habe ich den Tipp bekommen, dass ich [mm](1+z)[/mm] als Reihe
> darstellen soll:
> [mm](1+z)=(1+z)*(1-z)*\frac{1}{1-z}=(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm]
Sicher, dass das so gemeint war und nicht wie ich es oben meinte?
> Dann ist:
>
> [mm](1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n[/mm]
>
> Als Cauchyprodukt ist das dann:
>
> [mm](1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\summe_{k=0}^{n}\frac{(k+1)(k+2)}{2}=(1+z)*(1-z)*\summe_{n=0}^{\infty}z^n*\frac{(n+1)(n^2+5n+6)}{6}[/mm]
>
>
> Aber jetzt hänge ich, das ist ja nicht dasselbe wie die
> linke Seite, die ich ja erreichen möchte.
Genau. Das ist eher haesslicher geworden.
> Was mache ich falsch und wie muss ich vorgehen?
Mach es doch so wie ich's vorgeschlagen hab: damit ist [mm] $\frac{z + 1}{(1 - z)^3} [/mm] = [mm] \left( \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \right) \left( \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n \right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right) z^n$.
[/mm]
Jetzt musst du den Fall $n = 0$ extra behandeln, und dann kannst du allgemein fuer alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ ganz konkret [mm] $\sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ [/mm] ausrechnen, indem du [mm] $a_{n-n} [/mm] = [mm] a_{n - (n-1)} [/mm] = 1$ und [mm] $a_{n-k} [/mm] = 0$ fuer $k [mm] \le [/mm] n - 2$ nutzt.
LG Felix
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> [mm]1 + z = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm] zu schreiben
> (also [mm]a_0 = a_1 = 1[/mm], [mm]a_n = 0[/mm] fuer [mm]n \ge 2[/mm]) und damit das
> Produkt von [mm]1 + z[/mm] und der Reihe fuer [mm]\frac{1}{(1 - z)^3}[/mm]
> auszurechnen.
OK, diese Konstruktion habe ich verstanden!
> Mach es doch so wie ich's vorgeschlagen hab: damit ist
> [mm]\frac{z + 1}{(1 - z)^3} = \left( \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \right) \left( \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right) z^n[/mm].
>
> Jetzt musst du den Fall [mm]n = 0[/mm] extra behandeln,
Du meinst doch dann, dass für $n=0$ ist doch dann [mm] $\left( \sum_{k=0}^0 a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right)=0$ [/mm] ist, oder?
> und dann
> kannst du allgemein fuer alle [mm]n \ge 1[/mm] ganz konkret
> [mm]\sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}[/mm] ausrechnen,
> indem du [mm]a_{n-n} = a_{n - (n-1)} = 1[/mm] und [mm]a_{n-k} = 0[/mm] fuer [mm]k \le n - 2[/mm]
> nutzt.
>
> LG Felix
>
Hmm, wie soll ich diese Dinge denn nutzen und wie bist du darauf gekommen? Irgendwie seh ich das grad nicht. Das muss ja [mm] $n^2$ [/mm] ergeben, bloß wie?
Vielen Dank für die Mühe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:37 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]1 + z = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm] zu schreiben
> > (also [mm]a_0 = a_1 = 1[/mm], [mm]a_n = 0[/mm] fuer [mm]n \ge 2[/mm]) und damit das
> > Produkt von [mm]1 + z[/mm] und der Reihe fuer [mm]\frac{1}{(1 - z)^3}[/mm]
> > auszurechnen.
>
> OK, diese Konstruktion habe ich verstanden!
Gut.
> > Mach es doch so wie ich's vorgeschlagen hab: damit ist
> > [mm]\frac{z + 1}{(1 - z)^3} = \left( \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \right) \left( \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right) z^n[/mm].
> >
> > Jetzt musst du den Fall [mm]n = 0[/mm] extra behandeln,
>
> Du meinst doch dann, dass für [mm]n=0[/mm] ist doch dann [mm]\left( \sum_{k=0}^0 a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \right)=0[/mm]
> ist, oder?
Nein, da kommt 1 raus. Setz doch mal $n = k = 0$ in [mm] $a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ [/mm] ein, und beachte dass [mm] $a_0 [/mm] = 1$ ist.
> > und dann
> > kannst du allgemein fuer alle [mm]n \ge 1[/mm] ganz konkret
> > [mm]\sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}[/mm] ausrechnen,
> > indem du [mm]a_{n-n} = a_{n - (n-1)} = 1[/mm] und [mm]a_{n-k} = 0[/mm] fuer [mm]k \le n - 2[/mm]
> > nutzt.
>
> Hmm, wie soll ich diese Dinge denn nutzen und wie bist du
> darauf gekommen?
Ich hab das Cauchy-Produkt der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] mit der Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}z^n$ [/mm] ausgerechnet: dies ist ja gerade das Produkt aus $1 + z$ und [mm] $\frac{1}{(1 - z)^3}$.
[/mm]
> Irgendwie seh ich das grad nicht. Das muss
> ja [mm]n^2[/mm] ergeben, bloß wie?
Nun, wegen der Bedingung an die [mm] $a_i$s [/mm] sind genau zwei davon gleich 1 und der Rest gleich 0. Die Summe [mm] $\sum_{k=0}^n a_{n-k} \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ [/mm] faellt also bis auf zwei konkrete Werte von $k$ (naemlich $k = n$ und $k = n - 1$) zusammen. Die beiden restlichen Terme bringst du auf einen Nenner und vereinfachst das so gut wie moeglich.
Und es sollte eher $(n + [mm] 1)^2$ [/mm] herauskommen.
LG Felix
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Ach ja, weil ja der Index noch verschoben wird. Vielen Dank, jetzt hab ichs gecheckt.
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