Cauchy-Riemann-DGL < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 10.05.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hi!
Anscheinen stehe ich auf dem Schlauch, zumindest sehe ich nicht, wie ich das machen soll!
Es sei [mm]f:\IC -> \IC [/mm]holomorph, [mm]g: \IC -> \IR[/mm] reell stetig diff´bar und die Ableitung von g verschwinde an keiner Stelle.
Ferner sei g(f(z))=0 für alle komplexen Zahlen z.
Zu zeigen: f~ ist konstant und damit auch f,
wobei [mm]f~:\IC -> \IR^2, f~(x,y) = (Re f(x+i*y), Im f(x+i*y)) = (u(x+i*y),v(x+i*y)) [/mm].
Mein erster Ansatz war ein Wiederspruchsbeweis, aber da kam ich auch nicht weiter.
Wäre nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte.
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Hallo!
Wegen [mm] $g\circ [/mm] f(z)=0$ ist ja auch [mm] $\tilde g\circ\tilde [/mm] f(x,y)=0$, wobei [mm] $\tilde [/mm] g:\ [mm] \R^2\to \R,\ \tilde [/mm] g(x,y)=g(x+iy)$.
> wobei [mm]f~:\IC -> \IR^2, f~(x,y) = (Re f(x+i*y), Im f(x+i*y)) = (u(x+i*y),v(x+i*y)) [/mm].
Ist das so richtig? Müsste nicht [mm] $\tilde [/mm] f:\ [mm] \IR^2\to\IR^2$?
[/mm]
Die Angabe, dass $g$ reell stetig differenzierbar ist, fasse ich so auf, dass [mm] $\tilde [/mm] g$ stetig differenzierbar ist.
Jetzt gilt:
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big)*\bruch{\partial}{\partial x} \tilde [/mm] f(x,y)$.
Analoges gilt für die Ableitung nach $y$.
Jetzt muss man nur noch benutzen, dass $g'$ nullstellenfrei ist...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Di 10.05.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo banachella!
Du hast natürlich recht: [mm] f~:\IR^2->\IR^2.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 10.05.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo banachella!
Dein Ansatz ist sehr gut, doch leider verstehe ich ein paar Sachen nicht:
1. Wie definierst du g(schlange)?
2. $ [mm] \bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big)\cdot{}\bruch{\partial}{\partial x} \tilde [/mm] f(x,y) $:
Nach Vor. ist doch g(f(z))=0. Wenn ich dazu die partielle Ableitung bilde, ist diese also auch 0.
Aber deshalb muss doch f(schlange) nicht konstant sein.
Oder doch?
Danke, dass DU mir hilfst!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> 1. Wie definierst du g(schlange)?
Sie definiert es, analog zu [mm] $\tilde{f}$, [/mm] als
[mm] $\tilde{g} [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR \\[5pt] (x,y) & \mapsto & g(x+iy). \end{array}$.
[/mm]
> 2.
(0) [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde{g}\circ \tilde{f}\big)(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde{f}(x,y)\big)\cdot{}\bruch{\partial}{\partial x} \tilde{f}(x,y) [/mm]:
> Nach Vor. ist doch g(f(z))=0. Wenn ich dazu die partielle
> Ableitung bilde, ist diese also auch 0.
Stimmt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Daraus folgt: [mm] $\tilde{g} \circ \tilde{f} \equiv [/mm] 0$, also:
(1) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\big(\tilde{g}\circ \tilde{f}\big)(x,y)=0$
[/mm]
und
(2) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}\big(\tilde g\circ \tilde f\big)(x,y)=0$.
[/mm]
Weiterhin ist nach Voraussetzung
(3) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big) \ne [/mm] 0$
und
(4) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}\tilde g\big(\tilde f(x,y)\big) \ne [/mm] 0$.
Aus (0), (1) und (3) folgt aber doch:
(5) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x} \tilde{f}(x,y) [/mm] =0$.
Folgere ebenso aus (0), (2) und (4):
(6) [mm] $\bruch{\partial}{\partial y} \tilde{f}(x,y) [/mm] =0$
> Aber deshalb muss doch f(schlange) nicht konstant sein.
> Oder doch?
Doch! Dies folgt dann aus (5) und (6).
> Danke, dass DU mir hilfst!
Ich hoffe meine Vertretung war auch einigermaßen in Ordnung. 
Viele Grüße
Julius
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