Cauchy-Schwarz-Ungleichung ... < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich versuche gerade eine Beweisskizze für diese Ungleichung zu vervollständigen, scheitere aber am Ende des Beweises.
Sei [mm] $\left(V,\left<\cdot{}|\cdot{}\right>\right)$ [/mm] ein Hilbertraum. Dann gilt [mm] $\forall x,y\in [/mm] V$, [mm] $\forall t\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\alpha:=\tfrac{\left}{\left|\left\right|}\in\mathbb{C}$ [/mm] nach den Rechenregeln für Skalarprodukte im Komplexen für [mm] $x\ne [/mm] 0$ und [mm] $y\ne [/mm] 0$:
[mm] $0\leqslant \left=t\overline{\overline{\left}}+\alpha\overline{\overline{\left}}$
[/mm]
$= [mm] t\overline{\left}+\alpha\overline{\left}$
[/mm]
$= [mm] t\left(\overline{t\left+\alpha\left}\right)+\alpha\left(\overline{t\left+\alpha\left}\right)$
[/mm]
$= [mm] t\left(t\left+\overline{\alpha}\left\right)+\alpha\left(t\overline{\left}+\overline{\alpha}\left\right)$
[/mm]
$= [mm] t^2\left +\overline{\alpha}t\left +\alpha t\overline{\left} +\alpha\overline{\alpha}\left$
[/mm]
$= [mm] t^2\left +t\tfrac{\overline{\left}}{\left|\left\right|}\left [/mm] + [mm] t\tfrac{\left}{\left|\left\right|}\overline{\left} +\tfrac{\left}{\left|\left\right|}\tfrac{\overline{\left}}{\left|\left\right|}\left$
[/mm]
Wegen [mm] $z\bar{z}=\left|z\right|^2$ [/mm] für alle [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] gilt:
$= [mm] \underbrace{\left}_{>0}t^2 [/mm] + [mm] 2\left|\left\right|t [/mm] + [mm] \underbrace{\left}_{>0}$
[/mm]
$= [mm] \left\left(t+\tfrac{\left|\left\right|}{\left} - \sqrt{\left(\tfrac{\left|\left\right|}{\left}\right)^2-\tfrac{\left}{\left}}\right)\left(t+\tfrac{\left|\left\right|}{\left} + \sqrt{\left(\tfrac{\left|\left\right|}{\left}\right)^2-\tfrac{\left}{\left}}\right)$
[/mm]
Damit die Wurzel bei beiden Faktoren definiert ist, muß der Term unter der Wurzel [mm] $\geqslant [/mm] 0$ sein:
[mm] $\left(\tfrac{\left|\left\right|}{\left}\right)^2-\tfrac{\left}{\left} \geqslant [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \left(\tfrac{\left|\left\right|}{\left}\right)^2 \geqslant \tfrac{\left}{\left}\Rightarrow \left|\left\right|^2\geqslant\left\left$.
[/mm]
Herauskommen sollte aber [mm] $\left|\left\right|^2\leqslant\left\left$. [/mm] Was mache ich falsch?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 05.03.2010 | | Autor: | ron |
Hallo Karl,
in deinem Beweis ist etwas bei der Umrechnung im komplexen nicht richtig gelaufen. Möchte einen kurzen Ansatz geben, der leicht auf den Beweis übertragen werden kann.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{}{} [/mm] ! [mm] \lambda \in \IC [/mm] geschickt gewählt!
Zudem: <u,u> [mm] \not= [/mm] 0
0 [mm] \le [/mm] < [mm] \lambda u+w,\lambda u+w>=|\lambda|^2 [/mm] <u,u> + 2Re< [mm] \lambda [/mm] u,w>+<w,w>
[mm] \lambda [/mm] einsetzen:
[mm] 0\le \bruch{||^2}{^2}-2\bruch{||^2}{}+
[/mm]
Kürzen, umformen und fertig.
MfG
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Ron,
Danke für die Antwort! Mit deinem Ansatz hat es nun geklappt.
Viele Grüße
Karl
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