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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:13 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Tyhorr |
Hi,
ich hab' diese Frage zwar schon im Numerikforum gestellt, aber ich formulier' sie einfach um. Ist im Grunde LA.
Also:
|<Cx,y>| [mm] \le [/mm] ||C|| ||x|| ||y||
Warum gilt hier nun Gleichheit, wenn C:=yx*, wobei C [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] und x* adjungierter Eigenvektor zum EW [mm] z_{0}', [/mm] y Eigenvektor zum EW [mm] w_{0}?
[/mm]
Und warum ist ||yx*|| = ||x|| ||y||?
Mir alles völlig schleierhaft...
Achso, es wird die Spektralnorm für die Matrix und der Betrag für den Rest verwendet.
Nun ja, thx!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 09.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi,
> ich hab' diese Frage zwar schon im Numerikforum gestellt,
> aber ich formulier' sie einfach um. Ist im Grunde LA.
>
> Also:
> |<Cx,y>| [mm]\le[/mm] ||C|| ||x|| ||y||
>
> Warum gilt hier nun Gleichheit, wenn C:=yx*, wobei C [mm]\in \IC^{nxn}[/mm]
> und x* adjungierter Eigenvektor zum EW [mm]z_{0}',[/mm] y
> Eigenvektor zum EW [mm]w_{0}?[/mm]
Verstehe ich so die Aussage richtig?
[mm] $\forall [/mm] C [mm] \in \IC^{n \times n} \forall [/mm] x, y [mm] \in \IC^n [/mm] : [mm] (|\langle [/mm] C x , y [mm] \rangle| [/mm] = [mm] \|C\| \|x\| \|y\| \Leftrightarrow \exists z_0', w_0 \in \IC [/mm] : C y = [mm] w_0 [/mm] y, [mm] x^\ast [/mm] C = [mm] z_0' x^\ast, [/mm] C = y [mm] x^\ast)$
[/mm]
Wie man das ganze angehen koennte: du hast ja zwei Ungleichungen: [mm] $|\langle [/mm] C x, y [mm] \rangle| \le \|C x\| \|y\| \le \|C\| \|x\| \|y\|$.
[/mm]
Bei der ersten gilt Gleichheit genau dann, wenn $C x$ und $y$ linear abhaengig sind. (Das ist eine Eigenschaft der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)
Jetzt musst du zeigen, dass ($C x$, $y$ linear abhaengig und [mm] ($\|C x\| [/mm] = [mm] \|C\| \|x\|$ [/mm] oder $y = 0$)) aequivalent zu [mm] $\exists z_0', w_0 \in \IC [/mm] : C y = [mm] w_0 [/mm] y, [mm] x^\ast [/mm] C = [mm] z_0' x^\ast, [/mm] C = y [mm] x^\ast)$ [/mm] ist.
Allerdings: ist $y = 0$ und $C [mm] \neq [/mm] 0$ beliebig, so gilt [mm] $|\langle [/mm] C x, y [mm] \rangle| [/mm] = 0 = [mm] \|C\| \|x\| \|y\|$, [/mm] jedoch $y [mm] x^\ast [/mm] = 0 [mm] \neq [/mm] C$.
Also fehlt noch etwas an der Aussage?
LG Felix
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