Cauchy-Schwarz Ungleichung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 06.05.2010 | | Autor: | Fu2y |
Hallo,
ich lese mich gerade in Normen und Skalarprodukte ein. Jedoch hänge ich beim Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Gegeben ist ein unitärer Vektorraum (V,<,>) und für alle a,b [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] ||^2 [/mm] ≤ <a,b><b,b>
Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.
So, für b=0 sind a und b linear abhängig und die Ungleichung ist auch erfüllt. Für [mm] b\not=0 [/mm] gilt dann für beliebige [mm] \lambda \in \IR:
[/mm]
0 ≤ [mm]
Und genau hier hänge ich. Wie komme ich auf 0 ≤ [mm] |^2 [/mm] irgendwie auf die rechte Seite bekommen muss, aber wie das genau aussieht verstehe ich noch nicht. Es wäre nett wenn mir jemand diesen Schritt erklären könnte 8.).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für jedes x [mm] \in [/mm] V gilt $<x,x> = [mm] ||x||^2 \ge [/mm] 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 06.05.2010 | | Autor: | Fu2y |
OK, dann weiß ich, dass 0 ≤ <a,a>*<b,b> ist. Genauso gilt 0 ≤ [mm] .
[/mm]
Damit wäre schon etwas geklärt 8.). Wie komme ich jedoch explizit auf [mm] [/mm] ?
Gruß Fu2y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> OK, dann weiß ich, dass 0 ≤ <a,a>*<b,b> ist. Genauso
> gilt 0 ≤ [mm].[/mm]
>
> Damit wäre schon etwas geklärt 8.). Wie komme ich jedoch
> explizit auf [mm][/mm] ?
Das ist die Idee des Urhebers des Beweises. Wenn Du den Beweis weiter verfolgst, wirst Du sehen wozu das gut ist.
FRED
>
> Gruß Fu2y
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Do 06.05.2010 | | Autor: | Fu2y |
Ah ok wunderbar. Vielen dank für deine Hilfe. Mit dem Ansatz lässt sich natürlich wunderbar zeigen, dass die Ungleichung gilt 8.)
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