Cauchy-Schwarz, anderer Beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mi 06.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | In Buch Martin Hanke Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens ist ein Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung wo ich ein Detail nicht verstehe:
Satz: Ist <.,.> ein Innenprodukt in einem Vektorraum X über [mm] \mathbb{K}, [/mm] so gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
[mm] ||^2 \le [/mm] <g,g><h,h> für alle g,h [mm] \in [/mm] X
und Gleichheit gilt genau dann, wenn g und h linear abhängig sind.
Beweis:
Fall der Linearen Abhängigkeit oder Orthogonalität ist klar.
Sei nun [mm] f=\alpha [/mm] g + [mm] \beta [/mm] h
0< <f,f> = [mm] |\alpha|^2 [/mm] <g,g> + [mm] \overline{\alpha} \beta [/mm] <g,h> + [mm] \alpha \overline{\beta} [/mm] <h,g> + [mm] |\beta|^2 [/mm] <h,h>
Somit ist
-2 [mm] Re(\overline{\alpha}\beta [/mm] <g,h>) < [mm] |\alpha|^2 [/mm] <g,g> + [mm] |\beta|^2,
[/mm]
und speziell für
[mm] \alpha= ^{\frac{1}{2}} [/mm] und [mm] \beta= [/mm] - [mm] ||^{\frac{1}{2}}
[/mm]
folgt
2 [mm] ||^3 ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [/mm] < 2 [mm] ||^2 [/mm] <g,g> <h,h>
und damit die Behauptung. |
Hallo
Frage 1:Mir ist nicht klar warum aus der letzten Zeile die Behauptung folgt.
2 [mm] ||^3 ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [/mm] < 2 [mm] ||^2 [/mm] <g,g> <h,h>
[mm] \iff [/mm] |<g,h>| [mm] ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [/mm] < <g,g> <h,h>
Wie folgt nun die Behauptung?
Frage2: Wenn g,h linear abhängig sind, gilt Gleichheit ist klar.
Aber warum folgt aus Gleichheit, dass g und h linear abhängig sind?
Sei [mm] ||^2 [/mm] = <g,g><h,h>
ZZ.: [mm] \exists \alpha \in \mathbb{K}: g=\alpha [/mm] h
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mi 06.01.2016 | | Autor: | hippias |
> In Buch Martin Hanke Bourgeois: Grundlagen der Numerischen
> Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens ist ein
> Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung wo ich ein Detail
> nicht verstehe:
> Satz: Ist <.,.> ein Innenprodukt in einem Vektorraum X
> über [mm]\mathbb{K},[/mm] so gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
> [mm]||^2 \le[/mm] <g,g><h,h> für alle g,h [mm]\in[/mm] X
> und Gleichheit gilt genau dann, wenn g und h linear
> abhängig sind.
>
> Beweis:
> Fall der Linearen Abhängigkeit oder Orthogonalität ist
> klar.
> Sei nun [mm]f=\alpha[/mm] g + [mm]\beta[/mm] h
> 0< <f,f> = [mm]|\alpha|^2[/mm] <g,g> + [mm]\overline{\alpha} \beta[/mm]
> <g,h> + [mm]\alpha \overline{\beta}[/mm] <h,g> + [mm]|\beta|^2[/mm] <h,h>
> Somit ist
> -2 [mm]Re(\overline{\alpha}\beta[/mm] <g,h>) < [mm]|\alpha|^2[/mm] <g,g> +
> [mm]|\beta|^2,[/mm]
> und speziell für
> [mm]\alpha= ^{\frac{1}{2}}[/mm] und [mm]\beta=[/mm] -
> [mm]||^{\frac{1}{2}}[/mm]
> folgt
> 2 [mm]||^3 ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[/mm] < 2
> [mm]||^2[/mm] <g,g> <h,h>
> und damit die Behauptung.
> Hallo
>
> Frage 1:Mir ist nicht klar warum aus der letzten Zeile die
> Behauptung folgt.
> 2 [mm]||^3 ^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[/mm] < 2
> [mm]||^2[/mm] <g,g> <h,h>
> [mm]\iff[/mm] |<g,h>| [mm]^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[/mm] <
> <g,g> <h,h>
> Wie folgt nun die Behauptung?
Bringe [mm] $^{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$ [/mm] auf die andere Seite und quadriere.
>
> Frage2: Wenn g,h linear abhängig sind, gilt Gleichheit ist
> klar.
> Aber warum folgt aus Gleichheit, dass g und h linear
> abhängig sind?
> Sei [mm]||^2[/mm] = <g,g><h,h>
> ZZ.: [mm]\exists \alpha \in \mathbb{K}: g=\alpha[/mm] h
Berechne $<f,f>$ mit dem gleichen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] wie eben unter der Voraussetzung, dass [mm] $||^2 [/mm] = <g,g><h,h>$ gilt. Danach wirst Du $f= 0$ schliessen können.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:46 Mi 06.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Lieben Dank. Der erste Teil ist nun klar!
Der zweite Teil ist denke ich auch klar:
<f,f>= $ [mm] |\alpha|^2 [/mm] $ <g,g> + $ [mm] \overline{\alpha} \beta [/mm] $<g,h> + $ [mm] \alpha \overline{\beta} [/mm] $ <h,g> + $ [mm] |\beta|^2 [/mm] $ <h,h>
= [mm] ||^2 [/mm] <h,h> <g,g> - [mm] [\overline{} \sqrt{} [/mm] |<g,h>| [mm] \sqrt{}]* [/mm] <g,h>- [<g,h> [mm] \sqrt{}*||*\sqrt{}] [/mm] * <h,g> + [mm] ||^2* [/mm] <h,h>
= [mm] ||^2 [/mm] <h,h> <g,g> - [mm] [\overline{} \sqrt{} [/mm] |<g,h>| [mm] \sqrt{}]* [/mm] <g,h>- [mm] [\overline{} \sqrt{}*||*\sqrt{}] [/mm] * <g,h> + [mm] ||^2* [/mm] <h,h>
[mm] =||^2 [/mm] <h,h> <g,g> - [mm] ||^2 \sqrt{} [/mm] |<g,h>| [mm] \sqrt{}- ||^2\sqrt{}*||*\sqrt{} [/mm] + [mm] ||^2* [/mm] <h,h>
Gleichung $ [mm] ||^2 [/mm] = <g,g><h,h> $ einsetzen im zweiten und dritten Term.
[mm] =||^2 [/mm] <h,h> <g,g> - [mm] \sqrt{} [/mm] |<g,h>| [mm] \sqrt{}- *||\sqrt{}*||*\sqrt{} [/mm] + [mm] ||^2* [/mm] <h,h>
[mm] =()^2 *()^2 [/mm] - [mm] \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{} \sqrt{}- *\sqrt{} \sqrt{}\sqrt{}*\sqrt{} [/mm] + [mm] ()^2* ()^2 [/mm] = 0
Erste und zweite Term kürzen sich weg sowie dritte und vierte Term
[mm] \Rightarrow [/mm] <f,f>=0
[mm] \Rightarrow [/mm] f=0
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] g = - [mm] \beta [/mm] h
[mm] \Rightarrow [/mm] g und h linear abhängig
Liebe Grüße,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 08.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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