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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun
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Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Fr 28.05.2010
Autor: Tensor5000

Aufgabe
Seien a1,a2,...,an > 0.
Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung, dass

[mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)*(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2 [/mm]



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo alle zusammen,
hoffentlich kann mir hier jemand weiterhelfen.

also ich kenne die CSU in der Form |x*y| [mm] \le [/mm] ||x|| * ||y||
Folglich habe ich versucht die Reihen aus der Aufgabenstellung irgendwie umzuformen, dass sich von der Form etwas Aehnliches ergibt, wie ||x|| mit
||x|| = [mm] \wurzel{(x1)^2,(x2)^2,...} [/mm] ist mir allerdings nicht gelungen...
Oder muss ich versuchen das [mm] n^2 [/mm] irgendwie als Summe zu schreiben und dann die Ungleichung umformen?

Bin ueber jeden Denkanstoß dankbar!



        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Fr 28.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Tensor5000 und herzich [willkommenmr],

> Seien a1,a2,...,an > 0.
>  Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung,
> dass
>  
> [mm](\summe_{i=1}^{n} ai)*(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2[/mm]
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo alle zusammen,
> hoffentlich kann mir hier jemand weiterhelfen.
>  
> also ich kenne die CSU in der Form |x*y| [mm]\le[/mm] ||x|| * ||y||
>  Folglich habe ich versucht die Reihen aus der
> Aufgabenstellung irgendwie umzuformen, dass sich von der
> Form etwas Aehnliches ergibt, wie ||x|| mit
> ||x|| = [mm]\wurzel{(x1)^2,(x2)^2,...}[/mm] ist mir allerdings nicht
> gelungen...
>  Oder muss ich versuchen das [mm]n^2[/mm] irgendwie als Summe zu
> schreiben und dann die Ungleichung umformen?

Cauchy-Schwarze Ungl. für Skalarprod.:

[mm] $\langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle$ [/mm]

Nun schreib dir das mal mit dem euklidischen Standardskalarprodukt für den [mm] $\IR^n$ [/mm] hin ...



>  
> Bin ueber jeden Denkanstoß dankbar!
>  
>  


LG

schachuzipus

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Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Sa 29.05.2010
Autor: Tensor5000

$ [mm] \langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle [/mm] $

wäre dann:

[mm] (n1^2+n2^2+...nn^2)^2 \le (a1^2+a2^2+...an^2) [/mm] * [mm] (1/(a1)^2 [/mm] + [mm] 1/(a2)^2) [/mm] + ... [mm] 1/(an)^2 [/mm] )

hmm...rechte Seite ausmultiplizieren? bringt mich aber auch nicht weiter... :/

Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Sa 29.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]\langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle[/mm]
>  
> wäre dann:
>  
> [mm](n1^2+n2^2+...nn^2)^2 \le (a1^2+a2^2+...an^2)[/mm] * [mm](1/(a1)^2[/mm] +
> [mm]1/(a2)^2)[/mm] + ... [mm]1/(an)^2[/mm] )
>  
> hmm...rechte Seite ausmultiplizieren? bringt mich aber auch
> nicht weiter... :/

Für [mm] $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n), y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_i, y_i\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] ist

[mm] $\cdot{}=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$ [/mm]

Was ergibt sich damit für $x,y$ mit [mm] $y_i=\frac{1}{x_i}$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] ?

Gruß

schachuzipus


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Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Sa 29.05.2010
Autor: Tensor5000

[mm] (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{y_1^2}) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i)^2 [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{y_1^2}) \ge (\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{x_i}{y_i})^2 [/mm]


?

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Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Sa 29.05.2010
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was hast du denn da gemacht?

Du hattest doch schon:

$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $

Das gilt jetzt für alle [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i. [/mm]
Jetzt mach doch mal das, was schachuzipus gesagt hat und betrachte den Spezialfall [mm] $y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i}$ [/mm]
Was steht dann da?

MFG,
Gono.

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Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Sa 29.05.2010
Autor: Tensor5000

hehe, ich dachte das haette ich ?!
ok, ich versuchs nochmal

$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $

[mm] \gdw [/mm]

[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_i^2) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x_i^2}) \ge (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1

?

falls das richtig sein sollte, gilt das dann nicht nur fuer y = 1/x
und wie muss ich das mit dem [mm] \ge [/mm] 1 interpretieren?

Bezug
                                                        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Sa 29.05.2010
Autor: Gonozal_IX

>$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1$

Die Umformung ist falsch!
Schau sie dir nochmal an und dann schau, was zu zeigen solltest.
Welch Wunder, da kommt sogar das richtige raus :-)

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Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Sa 29.05.2010
Autor: Tensor5000

langsam wirds peinlich ^^

aber danke fuer eure Hilfe!

$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] 1^2 [/mm] = 1 $

vielleicht:

[mm] \gdw (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] (n*1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm]  qed?

Bezug
                                                                        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Sa 29.05.2010
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
  

> [mm]\gdw (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2[/mm] = [mm](n*1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm]  
> qed?

na da sind wir ja schon einen großes Stück weiter!
Welche Ungleichung hast du nun gezeigt durch CSU ?

Was wolltest du zeigen?
Geht das?

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Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:22 Sa 29.05.2010
Autor: Tensor5000

ich habe gezeigt, dass fuer [mm] y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i} [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{y_i} \ge n^2 [/mm]

gilt, weil

[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x_i^2} \ge (\summe_{i=1}^{n} \bruch{x_i}{x_i})^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm]

oder?! :D

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Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 So 30.05.2010
Autor: Tensor5000

richtet sich jetzt hauptsaechlich an Gonozal_IX:

also habe ich gezeigt, dass $ [mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)\cdot{}(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2 [/mm] $ gilt, weil

$ [mm] \langle x,y\rangle^2\le\langle x,x\rangle\cdot{}\langle y,y\rangle [/mm] $

mit $ [mm] y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i} [/mm] $ genau

$ [mm] (\summe_{i=1}^{n} ai)\cdot{}(\summe_{j=1}^{n}(1/aj) \ge n^2 [/mm] $

ergibt?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 So 30.05.2010
Autor: Gonozal_IX

Hm,

deine Begründung ist unsauber und zeigt, dass du die Sache noch nicht verstanden hast......

Sauber wäre es:

Für alle x,y gilt die CSU,
mit euklidischem Skalarprodukt ergibt sich daraus:

$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 [/mm] $

Mit [mm] $y_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{x_i}$ [/mm] wird daraus:

$ [mm] \left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_i^2}\right)\ge n^2$ [/mm]

Immer noch für alle [mm] x_i! [/mm]

Zu gegebenen [mm] a_j [/mm] setze nun [mm] $x_i [/mm] = [mm] \sqrt{a_j}$. [/mm] Warum geht das?

MFG,
Gono.

PS: Nächstemal nutz bitte den Formeleditor vollständig, denn so halb geTeXte, halb Text Formeln lesen sich echt bescheiden.....



Bezug
                                                                                                        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 So 30.05.2010
Autor: Tensor5000

Zu gegebenen $ [mm] a_j [/mm] $ setze nun $ [mm] x_i [/mm] = [mm] \sqrt{a_j} [/mm] $. Warum geht das?

weil [mm] a_j \ge [/mm] 0 ? :)

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 So 30.05.2010
Autor: Gonozal_IX

jop :-)

Bezug
                                                                                        
Bezug
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichun: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mo 31.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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