Cauchy-Schwarzsche Ungleichung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 08.05.2008 | | Autor: | blubella |
Hallo,
kann mir bitte jemand eine Herleitung der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung zeigen, oder mir einen Link posten?
Gruß
Blubella
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> Hallo,
> kann mir bitte jemand eine Herleitung der
> Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung zeigen, oder mir einen
> Link posten?
Zu zeigen: [mm] $|(x|y)|\leq \parallel x\parallel\cdot\parallel y\parallel$, [/mm] wobei $=$ genau dann gilt, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
Beweis: Ist $x=0$, so gilt die Behauptung, ist aber [mm] $x\neq [/mm] 0$ so folgt aus der Positiv-Definitheit der vom Skalarprodukt induzierten Norm, dass gilt
[mm]0\leq \parallel \lambda x-y\parallel^2=|\lambda|^2\cdot\parallel x\parallel^2-\lambda (x|y)-\overline{\lambda (x|y)}+\parallel y\parallel^2[/mm]
($<$ gilt genau dann, wenn [mm] $\lambda x-y\neq [/mm] 0$ ist).
Setzt man hier [mm] $\lambda [/mm] := [mm] \frac{\overline{(x|y)}}{\parallel x\parallel^2}$, [/mm] so ergibt sich
[mm]0\leq \frac{|(x|y)|^2}{\parallel x\parallel^2}-2\frac{|(x|y)|^2}{\parallel x\parallel^2}+\parallel y\parallel^2[/mm]
Mit [mm] $\parallel x\parallel^2$ [/mm] multiplizieren und [mm] $|(x|y)|^2$ [/mm] auf die andere Seite schaffen liefert die Behauptung in quadrierter Form.
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