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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | emil11 |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mu$ [/mm] ein endliches Borelmaß in [mm] $\IC$. [/mm] Zeige, dass die Cauchytransformierte
[mm] $C\mu(z)=\int_{\zeta\neq z}\frac{1}{z-\zeta}d\mu(\zeta), z\in\IC$
[/mm]
[mm] $\lambda$-fast-überall [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert [mm] ($\lambda$ [/mm] Lebesguemaß). Zeige außerdem, dass dies bezüglich [mm] $\mu$ [/mm] i.A. falsch ist. |
Hallo @ all,
Meine Intuition hier wäre, [mm] \int_{\zeta\neq z}\frac{d\left|\mu\right|(\zeta)}{\left|z-\zeta\right|} [/mm] bezüglich [mm] $d\lambda$ [/mm] zu integrieren (vermutlich vorzugsweise lokal), um irgendwie etwas [mm] $<\infty$ [/mm] herauszubekommen. Dann mit Hilfe des Satzes von Fubini argumentieren, dass das Integral [mm] $C\mu(z)$ $\lambda$-fast-überall [/mm] definiert ist. Ich habe leider (noch) wenig Ahnung von Integrationstheorie, aber: Kann ich die Transformierte als Faltung [mm] $\frac{1}{z}\*\mu$ [/mm] auffassen? Ist [mm] $\frac{1}{z} [/mm] tatsächlich lokal [mm] $\lambda$-integrierbar? [/mm] Man munkelt, in diesem Falle sei das Ganze [mm] $\lambda$-integrierbar... [/mm] kann mir jemand erklären, warum?
Zum zweiten Teil: Ich denke, es geht darum, zu gegebenem $z$ein möglichst ungünstiges Maß [mm] $\mu$ [/mm] zu finden, hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Di 25.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Bevor sich (wider Erwarten) jemand die Mühe macht: Ich bin optimistisch, das Ganze lösen zu können. Falls sich jemand dafür interessiert, kann ich eine solche Lösung hier gerne zumindest skizzieren (mein in der Aufgabenstellung erwähnter intuitiver Lösungsweg funktioniert).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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