Cauchy-integrationsformel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Werten sie aus:
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz}{z(z^2-4)e^z}} [/mm] |
Hallo, hier habe ich ein kleines Problem.
Erstmal die Cauchy-Integralformel:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(z)dz}{z-z_0}}=2*i*pi*f(z_0)
[/mm]
(wenn [mm] \gamma [/mm] geschlossen und [mm] z_0 [/mm] innerhalb des von [mm] \gamma [/mm] eingeschlossenen Bereiches.)
So, nun zur Aufgabe
Das Integral kann ich erstmal in die Form bringen:
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz}{z(z+2)(z-2)e^z}}
[/mm]
Doch wie geh ich nun vor? Kann ich einfach das folgende tun?
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz}{z(z+2)(z-2)e^z}}=\integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz*\bruch{1}{z*(z+2)*e^z}}{z-2}}
[/mm]
Und schliesslich mithilfe der Cauchy Integralformel:
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz*\bruch{1}{z*(z+2)*e^z}}{z-2}}=2*i*pi*\bruch{1}{2*(2+2)*e^2}=\bruch{pi*i}{4e^2}
[/mm]
Geht das so?? irgendwas riecht mir komisch, vor allem weil ja die Auswahl "welchen Faktor lasse ich unter dem Bruchstrich" (also z+2 oder z-2) willkuerlich ist. Wenn ich naemlich das folgende mache:
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz*\bruch{1}{z*(z+2)*e^z}}{z-2}}=\integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz*\bruch{1}{z*(z-2)*e^z}}{z+2}}
[/mm]
Dann ist mein [mm] z_0 [/mm] auf einmal -2 statt +2 und ich kaeme zum Ergebnis:
[mm] \integral_{|z-1|=3}^{}{\bruch{dz*\bruch{1}{z*(z-2)*e^z}}{z+2}}=2*pi*i*\bruch{1}{(-2)*(-2-2)*e^{-2}=2*pi*i*e^{-2}}=\bruch{pi*i}{4e^{-2}}\not=\bruch{pi*i}{4e^2}
[/mm]
Dies ist offensichtlich Unfug, dasselbe Integral kann mir ja nicht 2 verschiedene Loesungen geben. Was mache ich falsch?? Hab ich da irgendwo ein Verstaendnisproblem? Mache ich was illegales?
Danke im Vorraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Mo 08.06.2015 | | Autor: | fred97 |
In der Kreisscheibe |z-1|<3 hast Du 3 Polstellen:
0,2 und -2.
Das riecht nach Residuensatz.
FRED
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Der Tipp kam gut, ehrlich gesagt hatte ich mir den Residuensatz noch garnicht angeschaut. Jetzt kann ich gleich prompt das Cauchy-theorem, die Cauchy-Integralform und die Cauchy-Integralform der Ableitungen vergessen....sind ja alles Spezialfaelle davon!
Damit ist die Sache klar, danke ;)
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