Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Do 28.08.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | | [mm] \int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{dz}{z^2+\pi^2}[/mm] |
Hallo erstmal!
Hoffe ihr konnt mir weiterhelfen.
Der Nenner ist [mm](z+i\pi)(z-i\pi)[/mm]
Es liegt nur [mm]z_0= -i\pi[/mm] im Inneren des Integrationsweges
Wie finde ich heraus , dass [mm]-i\pi[/mm] im Inneren des Integrationsweges liegt?
Wenn ich die Cauchy Integralformel anwende:
[mm] \int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{dz}{z^2+\pi^2}=\int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{f(z)}{z+i\pi}= 2\pi i f(-i\pi)= \bruch {2\pi i}{-2\pi i}=-1[/mm]
Es muss [mm]f(z)= \bruch{1}{z-i\pi}[/mm] sein, aber wie komme ich auf dieses f(z)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Do 28.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{dz}{z^2+\pi^2}[/mm]
> Hallo erstmal!
> Hoffe ihr konnt mir weiterhelfen.
>
> Der Nenner ist [mm](z+i\pi)(z-i\pi)[/mm]
>
> Es liegt nur [mm]z_0= -i\pi[/mm] im Inneren des Integrationsweges
>
> Wie finde ich heraus , dass [mm]-i\pi[/mm] im Inneren des
> Integrationsweges liegt?
Wie wär's mit Aufmalen?
Der Integrationsweg ist ein Kreis mit Radius 3 um den Punkt -2i. Also ist der höchste Punkt des Kreises i, der niedrigste -5i.
> Wenn ich die Cauchy Integralformel anwende:
> [mm]\int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{dz}{z^2+\pi^2}=\int_{|z+2i|=3}^{} \bruch{f(z)}{z+i\pi}= 2\pi i f(-i\pi)= \bruch {2\pi i}{-2\pi i}=-1[/mm]
>
> Es muss [mm]f(z)= \bruch{1}{z-i\pi}[/mm] sein, aber wie komme ich
> auf dieses f(z)?
Du musst den Integranden zerlegen in dden Quotienten einer im Inneren holomorphen Funktion und eines Nenners der Form [mm] $(z-z_0)$, [/mm] wobei [mm] $z_0$ [/mm] im Inneren des Kreises liegt. Der Nenner ist daher [mm] $(z+i\pi)$ [/mm] und $f(z)$ ist der Rest.
Viele Grüße
Rainer
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