Cauchy Konvergenz; Eudoxos < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige mit dem Cauchykriterium, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] eine Caucfolge ist:
[mm] a_{n}= \bruch{1+4n^2}{2+2n^2}. [/mm] |
Ich habe mir gerade ein Video auf Youtube angesehen zu diesem Thema. Es wird o.g. Bsp-Aufgabe behandelt.
Jedenfalls steht da dann irgendwann
[mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] = [mm] \bruch{6n^2-6m^2}{(2+2m^2}, [/mm]
wobei die Betragsstriche der Voraussetzung [mm] m>n(>n_{0}) [/mm] zum Opfer fallen.
Auf diese ganzen Abschätzungen muss man erst mal kommen:
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \bruch{6n^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)}
[/mm]
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \bruch{6n^2}{2n^2(2+2m^2)}
[/mm]
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \bruch{3}{2+2m^2}
[/mm]
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \bruch{3}{2m^2}
[/mm]
Nun kommt die Abschätzung für [mm] n_{0}, [/mm] wobei mir die Anwendung des Satzes von Eudoxos nicht klar ist:
Es gibt m,n aus IN mit [mm] m>n>n_{0} [/mm] mit
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \bruch{3}{2m^2} [/mm] < [mm] \bruch{3}{2n_{0}^2} \le \bruch{3}{2\bruch{3}{2m^2\varepsilon}} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Wobei mir die Anwendung des Eudoxos für die letzte Abschätzung nicht klar ist. Wie heisst das ausführlich?
Und woher soll ich wissen, was ich bei den Abschätzungen wegzlassen habe, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen?
Muss am Ende immer das [mm] \varepsilon [/mm] herauskommmen, also genauer die Ungleichung aus dem Cauchy-Kriterium, die am Ende der Rechenorgie wieder explizit da steht?
Edit:
Bei meinem eigenen Ansatz habe ich versucht, die Ungleichung
[mm] |a_{m+1}-a_{m}| \le \varepsilon [/mm] zu behandeln, wobei [mm] a_{n}:=a_{m+1}.
[/mm]
Funktioniert das nicht?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> [mm]|a_{n}-a_{m}|[/mm] = [mm]\bruch{6n^2-6m^2}{(2+2m^2},[/mm]
Dass da wirklich Gleichheit steht, wage ich zu bezweifeln. Eher ein [mm] $\le$
[/mm]
> Auf diese ganzen Abschätzungen muss man erst mal kommen:
> Und woher soll ich wissen, was ich bei den Abschätzungen wegzlassen habe, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen?
Da hilft nur: Üben üben üben. Nur so bekommt man ein Gefühl dafür, was zielführend ist.
Es gibt da kein Patentrezept. Aber so wie hier eine Abschätzung mit Hilfe von [mm] \bruch{1}{m} [/mm] sieht man schon öfter 
Und da kann man dann sicherlich mit "Eudoxos" begründen, warum das kleiner wird als jedes vorgegebene [mm] $\varepsilon$, [/mm] allerdings sollte dir das auch so klar sein.
> Muss am Ende immer das [mm]\varepsilon[/mm] herauskommmen, also genauer die Ungleichung aus dem Cauchy-Kriterium, die am Ende der Rechenorgie wieder explizit da steht?
Es gibt ja nicht "das [mm] $\varepsilon$", [/mm] sondern man muss die Ungleichung ja für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ zeigen können.
Und da man am Ende ja genau zu zeigen hat, dass [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt, sollte das immer irgendwann auch da stehen.
> Edit:
> Bei meinem eigenen Ansatz habe ich versucht, die Ungleichung
> [mm]|a_{m+1}-a_{m}| \le \varepsilon[/mm] zu behandeln, wobei [mm]a_{n}:=a_{m+1}.[/mm]
> Funktioniert das nicht?
Ja, das funktioniert nicht, wie dir das einfache Gegenbeispiel [mm] $a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{k}$ [/mm] (also die Partialsummen der harmonischen Reihe) zeigen sollte.
Gruß,
Gono.
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Bzgl. der Ausgangsfrage habe ich aber immernoch nicht verstanden, wie das Epsilon zustande kommt.
Könnte mir das bitte jemand explizit herleiten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das [mm] \varepsilon [/mm] kommt überhaupt nicht zustande, sondern ist vorgegeben.
Zu diesem [mm] \varepsilon [/mm] ist ein [mm] n_0 [/mm] zu bestimmen (bei sehr großzügiger Interpretation kann man hier von einem Zustandekommen sprechen), so dass eben für beliebige Folgenglieder, deren Indizes größer als [mm] n_0 [/mm] sind, folgt, dass sie weniger als [mm] \varepsilon [/mm] auseinander liegen.
Vielleicht erklärst du genauer, wo es mit dem Verständnis hapert, eventuell schon daran, dass du einiges falsch abgeschrieben zu haben scheinst.
Richtig sollte der Nachweis folgendermaßen aussehen :
[mm] |a_n-a_m|=|\bruch{1+4n^2}{2+2n^2}-\bruch{1+4m^2}{2+2m^2}|=|\bruch{-6m^2+6n^2}{(2+2n^2)*(2+2m^2)}|=\bruch{6n^2-6m^2}{(2+2n^2)*(2+2m^2)} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] m
Durch Vergrößerung des Zählers und/oder Verkleinerung des Nenners folgt daraus dann weiter
[mm] |a_n-a_m|<\bruch{6n^2}{(2+2n^2)*(2+2m^2)}<\bruch{6n^2}{(2n^2)*(2+2m^2)}=\bruch{3}{2+2m^2}<\bruch{3}{2m^2}
[/mm]
An dieser Stelle schreiben wir frech ein [mm] ...<\varepsilon [/mm] hin (denn das muss am Ende immer da stehen!) und schauen mal, für welche m das tatsächlich zutrifft.
Aus [mm] \bruch{3}{2m^2}<\varepsilon [/mm] folgt durch Äquivalenzumformung [mm] m^2>\bruch{3}{2\varepsilon}.
[/mm]
Dass es ein [mm] n_0 [/mm] gibt, so dass [mm] n_0^2>\bruch{3}{2\varepsilon} [/mm] ist, folgt nach Archimedes oder Eudoxos. Wenn m größer als dieses [mm] n_0 [/mm] und n größer als dieses m gewählt wird, so gilt nach den gezeigten Umformungen sicherlich, dass [mm] |a_n-a_m|<\varepsilon [/mm] ist und somit, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Gruß Sax.
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Na jetzt ist doch klar, wo das Epsilon herkommt, danke.
Es geht so wild (für einen Unerfahrenen) durcheinander mit Äquivalenzen und Abschätzungen, dass man leict vergisst, worum es geht: Dass "der ganze Zirkus" kleiner Epsilon zu sein hat.
Danke!
Ich versuche es jetzt nochmals komplett neu ohne Musterlösung als Vorlage durchzuarbeiten und nachzuvollziehen.
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"> $ [mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6n^2-6m^2}{(2+2m^2}, [/mm] $
Dass da wirklich Gleichheit steht, wage ich zu bezweifeln."
Das = ist richtig, es ist ja noch keine Abschätzung, sondern eine Äquivalenzumformung, wenn ich nicht ganz falsch liege.
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| Aufgabe | | Berechne den Grenzwert der geg. Folge. |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+4n^2}{2+2n^2}
[/mm]
und jetzt mal vermutlich exemplarisch grottenfalsch
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}((1+4n^2)*(1/(2+2n^2)))
[/mm]
wobei ein Faktor gegen Null geht und somit das ganze Produkt, womit der limes=0 wäre.
Was ist an dieser Argumentation falsch?
Durch andere Umformung (Bruch auseinandernehmen, bei einem Summanden [mm] n^2/n^2 [/mm] ausklammern) komme ich auf den Grenzwert 2, was "besser aussieht".
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Hallo, [mm] n^2 [/mm] ausklammern ist der korrekte Weg, mit dem Grenzwert 2, Steffi
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Wenn das richtig wäre, müsste doch gelten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+4n^2)\cdot{}(1/(2+2n^2)))
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+4n^2) [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1/(2+2n^2))) [/mm]
was wiederum keine erlaubte Rechenregel ist.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Do 06.03.2014 | | Autor: | fred97 |
In [mm] \bruch{1+4n^2}{2+2n^2} [/mm] dividiere Zähler und Nenner durch [mm] n^2.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich glaube, dass man deine Frage nicht zu Ende gelesen hat.
Dir ist bewusst, wie man den Grenzwert berechnet, aber du
willst wissen, weshalb dein Weg falsch ist. Ich denke, dass
du nicht verstanden hast wann man den Grenzwert "reinziehen"
darf und wann es verboten ist. Genau dort liegt auch dein
Fehler.
Zunächst zeige ich es dir richtig:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+4n^2}{2+2n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n^2}+4}{
\frac{2}{n^2}+2}
[/mm]
Bis hierhin sollte alles klar sein.
Jetzt mach dir klar, dass die Grenzwerte
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}+4=4\in\IR
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n^2}+2=2\in\IR
[/mm]
existieren. Weshalb das nun genau gilt lasse ich außen vor.
Das wichtige ist jedoch, dass wir als Grenzwerte reelle
Zahlen erhalten und nicht etwa [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty. [/mm] In diesem Fall
muss man sogar aufpassen, dass der Grenzwert des Nenners
auch ungleich Null ist. Jedenfalls dürfen wir nun mit den
Grenzwertsätzen arbeiten und erhalten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+4n^2}{2+2n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n^2}+4}{
\frac{2}{n^2}+2}=\frac{\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}+4}{\limes_{n\rightarrow\infty}
\frac{2}{n^2}+2}=\frac{4}{2}=2.
[/mm]
Gucken wir uns nun genauer an wo bei dir der Fehler liegt.
Ich habe es zwar schon angedeutet, aber ich zeige es dir
trotzdem, damit du deinen Fehler auch verstehst!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+4n^2}{2+2n^2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+4n^2)*\frac{1}{2+2n^2})
[/mm]
Hier wurde nur äquivalent umgeformt und damit ist nach wie
vor alles richtig.
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+4n^2)*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2+2n^2}
[/mm]
Wenn das wirklich gelten soll, dann erhalten wir für die
einzelnen Grenzwerte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+4n^2)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2+2n^2}
[/mm]
reelle Zahlen. Kann das gut gehen? Vor Allem hast
du dabei auch leider nichts gewonnen (Weshalb?).
Ich hoffe, dass ich deine Frage nun richtig interpretiert
habe. Falls nicht, dann frag nochmal nach. Ansonsten kannst
du dir auch mal die genauen Voraussetzungen zur Anwendung
der Grenzwertsätze ![[]](/images/popup.gif) hier durchlesen.
Gruß
DieAcht
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"Hier wurde nur äquivalent umgeformt und damit ist nach wie
vor alles richtig.
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+4n^2)\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2+2n^2} [/mm] $
Wenn das wirklich gelten soll, dann erhalten wir für die
einzelnen Grenzwerte
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+4n^2) [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2+2n^2} [/mm] $
reelle Zahlen. Kann das gut gehen?"
Für den ersten lim würde man [mm] +\infty [/mm] erhalten, für den zweiten 0. Und irgendwas mal Null gibt Null.
Wenn man den Grenzwert der Folge so wie hier FAELSCHLICHERWEISE geschehen auseinanderziehen dürfte, wäre das die logische Konsequenz.
Das war dann der Fehler in meiner Argumentation.
Jedenfalls danke für den ausführlichn Kommentar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Für den ersten lim würde man [mm]+\infty[/mm] erhalten, für den
> zweiten 0. Und irgendwas mal Null gibt Null.
Hier ist noch immer der Fehler, denn
[mm] a_n\to\infty,n\to\infty
[/mm]
[mm] $b_n\to 0,n\to\infty$
[/mm]
[mm] $\not\Rightarrow a_n*b_n\to 0,n\to\infty$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Das genau wollte ich eigentlich zum Ausdruck bringen, daher hab ich auch "FAELSCHLICHERWEISE" geschrieben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> wobei ein Faktor gegen Null geht und somit das ganze
> Produkt, womit der limes=0 wäre.
Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge
ist eine Nullfolge.
> Was ist an dieser Argumentation falsch?
Ist die andere Folge eine beschränkte Folge?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Vielleicht mal noch ein Beispiel, damit du den Satz richtig
anwenden kannst.
Zeige mit dem Satz, dass die Folge
[mm] a_n:=\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)_{n\in\IN}
[/mm]
eine Nullfolge ist.
Gruß
DieAcht
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Ist klar, der Zaehler ist beschränkt auf (-1,1), sogar {-1,1}. Der Nenner ist ne Nullfolge (Harmonische Folge). Dadurch ist die Folge konvergent gegen 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ist klar, der Zaehler ist beschränkt auf (-1,1), sogar
> {-1,1}. Der Nenner ist ne Nullfolge (Harmonische Folge).
> Dadurch ist die Folge konvergent gegen 0.
Nein. Da sind sehr viele mathematisch-falsche Aussagen drin.
Schreib das doch mal mathematisch-korrekt als Beweis auf!
Gruß
DieAcht
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Ich halte das scho nfür richtig, lediglich sollte ich vlt statt von Zaehler und Nenner von zwei Faktoren eines Produktes Sprechen, wovon einer als eine beschränkte und der andere als eine Null-Folge angesehen werden kann. Daraus folgt direkt die Konvergenz gegen 0.
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