Cauchy S. Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \IR [/mm] besteht aus n Tupel, [mm] x=(x_1,...x_n)
[/mm]
reeller Zahlen.
Wir betrachten: |x|:= [mm] \wurzel{x_1^{2}+...+x_n^{2}} [/mm] die Norm von [mm] x=(x_1,...x_n)
[/mm]
Zeige die Dreiecksungleichung [mm] |x+y|\le [/mm] |x|+|y| mit der Ungleichung
[mm] \summe_{k=1}^{n}|a_kb_k|\le (\summe_{k=1}^{n}a_k^{2})^\bruch{1}{2}) (\summe_{k=1}^{n}b_k^{2})^\bruch{1}{2}
[/mm]
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so...meine Frage ist nun, wie ich das schreibe....
[mm] |a_k+b_k|\le |a_k, a_k|+|b_k,b_k|
[/mm]
= [mm] |\lambda*(a_k,..,a_n,a_k,...,a_n)+(\lambda*a_k,...,a_n,b_k)+(\lambda*a_k,..a_n,b_k)+(b_k,b_k)
[/mm]
.....usw
oder muss ich das als Summen ausschreiben`??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 25.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien $ [mm] x=(x_1,...x_n) [/mm] $ und $ [mm] y=(y_1,...y_n) [/mm] $ Elemente des [mm] \IR^n
[/mm]
Aus $|x|:= [mm] \wurzel{x_1^{2}+...+x_n^{2}} [/mm] $ folgt
[mm] $|x|^2 [/mm] = [mm] x_1^{2}+...+x_n^{2} [/mm] = x*x$
wobei $*$ das Skalarprodukt bezeichne.
Aus der Ungl.
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}|a_kb_k|\le (\summe_{k=1}^{n}a_k^{2})^\bruch{1}{2}) (\summe_{k=1}^{n}b_k^{2})^\bruch{1}{2} [/mm] $
folgt:
(*) $x*y [mm] \le [/mm] |x*y| [mm] \le [/mm] |x|*|y|$
(wobei in der Mitte mit $|*|$ der reelle Betrag und rechts mit $|*|$ die euklidische Norm gemeint ist.)
Dann:
[mm] $|x+y|^2 [/mm] =(x+y)*(x+y) = x*x+2x*y+y*y$
Nun zeige mit (*), dass
[mm] $|x+y|^2 \le (|x|+|y|)^2
[/mm]
gilt
FRED
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okay, danke. das hab eich verstanden. meine Frage ist nun, ob ich für x und y die Summe einsetzen muss oder nur die [mm] a_k [/mm] bzw [mm] b_k??
[/mm]
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay, danke. das hab eich verstanden.
Das glaube ich nicht !
> meine Frage ist nun,
> ob ich für x und y die Summe einsetzen muss oder nur die
> [mm]a_k[/mm] bzw [mm]b_k??[/mm]
Wir hatten doch:
" Seien $ [mm] x=(x_1,...x_n) [/mm] $ und $ [mm] y=(y_1,...y_n) [/mm] $ Elemente des $ [mm] \IR^n [/mm] $"
FRED
>
>
> Mathegirl
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Also dementsprechend doch mit Summenzeichen...aber so habe ich es soch bereits formuliert! kannst du mir vielleicht die erste zeile aufschreiben? Ich weiß sonst ehct nicht, wie ich das aufschreiben soll außer meine wirre Summenungleichung....
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Fr 27.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Soweit waren wir:
(*) $ [mm] x\cdot{}y \le |x\cdot{}y| \le |x|\cdot{}|y| [/mm] $
$ [mm] |x+y|^2 =(x+y)\cdot{}(x+y) [/mm] = [mm] x\cdot{}x+2x\cdot{}y+y\cdot{}y [/mm] $.
Also:
$ [mm] |x+y|^2 =|x|^2+2x*y+|y|^2$
[/mm]
Aus (*) folgt:
$ [mm] |x+y|^2 =|x|^2+2x*y+|y|^2 \le |x|^2+2|x|*|y|+|y|^2=(|x|+|y|)^2$
[/mm]
Daher: $ |x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|$
FRED
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