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| Aufgabe | Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
Für beliebige Vektoren [mm] $u,v\in [/mm] V$ gilt $<u,v>^2 <= <u,u><v,v>$
oder äquivalent |<u,v>| <= ||u||.||v||
Beweis:
Für $y=0$ trivial. Sei $y=/ 0$. Wir wenden einen kleinen Trick
[mm] $\lambda:= [/mm] <x,y>/||x||.||y|| [mm] \in [/mm] R$.
Folgendes gilt:
$0 <= [mm]
$ = [mm] ||x||^2 [/mm] - 2* <x,y>^2 / [mm] ||y||^2 [/mm] + <x,y>^2 / [mm] ||y||^2$
[/mm]
$ = [mm] ||x||^2 [/mm] - <x,y>^2 / [mm] ||y||^2$
[/mm]
Also gilt $ <x,y>^2 = [mm] ||x||^2 ||y||^2 [/mm] $ und somit $|<x,y>| <= ||x|| ||y||$ |
Den Beweis an sich verstehe ich, ich hab nur ein kleines Problem, warum der Anfang größer gleich Null gesetzt wird, obwohl wir wissen, dass das Skalarprodukt positiv definit ist, somit also nur größer null.
Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfen.
SG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
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> Für beliebige Vektoren [mm]u,v\in V[/mm] gilt [mm]^2 <= [/mm]
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> oder äquivalent |<u,v>| <= ||u||.||v||
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> Beweis:
> Für [mm]y=0[/mm] trivial. Sei [mm]y=/ 0[/mm]. Wir wenden einen kleinen
> Trick
> [mm]\lambda:= /||x||.||y|| \in R[/mm].
> Folgendes gilt:
> [mm]0 <= = -2\lambda +\lamda^2 [/mm]
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> [mm]= ||x||^2 - 2* ^2 / ||y||^2 + ^2 / ||y||^2[/mm]
>
> [mm]= ||x||^2 - ^2 / ||y||^2[/mm]
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> Also gilt [mm]^2 = ||x||^2 ||y||^2[/mm] und somit [mm]|| <= ||x|| ||y||[/mm]
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> Den Beweis an sich verstehe ich, ich hab nur ein kleines
> Problem, warum der Anfang größer gleich Null gesetzt
> wird, obwohl wir wissen, dass das Skalarprodukt positiv
> definit ist, somit also nur größer null.
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> Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfen.
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> SG
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wi wissen nur 0 [mm] \le
Ist [mm] x=\lambda [/mm] y, so ist 0= [mm] \le
FRED
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