Cauchy Ungleichung R^n < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mo 16.04.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | 1. [mm] n\in [/mm] N. Beweise, dass für alle [mm] x,y\in \IR^n [/mm] die Ungleichung von cauchy Schwarz gilt
[mm] |x*y|\le [/mm] |x|*|y|
(Tipp: Es gibt einen Beweis für das allgemeine Skalarprodukt in Wikipedia. Aber Vorsicht: Ist er richtig?)
2. [mm] n\in [/mm] N und [mm] x,y\in \IR^n. [/mm] Beweise, dass für [mm] \IR^n [/mm] die Dreiecksungleichung gilt.
[mm] |x+y|\le [/mm] |x|+|y|
(Tipp: Aufgabe 1) |
Bei der Aufgabe verwirren mich die Tipps!!! Ich verstehe nicht, was ich mit dem allgemeinen Skalaprodukt hierbei anfangen soll.
zu 1: Hier kann ich mit dem Tipp nichts anfangen. Meine Idee wäre ein Beweis in dem [mm] \lambda \in \IR [/mm] enthalten ist, der
Zu 2 ist mir nur eine Beweisidee eingefallen:
Es gilt ja hierbei [mm] \IR^n:{x_1,x_2,...,x_n}
[/mm]
das Skalarprodukt muss ich doch in einem normierten raum betrachten, richtig?
Dann müsste es ja heißen:
[mm] ||\le\parallel x\parallel+\parallel y\parallel
[/mm]
Dann kann ich quadrieren:
[mm] \parallel x+y\parallel^2\le \parallel x\parallel^2+\parallel y\parallel^2
[/mm]
[mm] \le [/mm] <x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>
[mm] \le \parallel x\parallel^2+2||+\parallel y\parallel^2
[/mm]
[mm] \le \parallel x\parallel^2+2\parallel x\parallel*\parallel y\parallel+\parallel y\parallel^2
[/mm]
[mm] \le(\parallel x+y\parallel^2)
[/mm]
Durch Wurzelziehen erhalte ich dann die Ungleichung
Kann ich das so machen?
LG
heinze
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> 1. [mm]n\in[/mm] N. Beweise, dass für alle [mm]x,y\in \IR^n[/mm] die
> Ungleichung von cauchy Schwarz gilt
>
> [mm]|x\red{*}y|\le[/mm] |x|*|y|
Hallo,
das rote "mal" steht für das euklidische Skalarprodukt?
>
> (Tipp: Es gibt einen Beweis für das allgemeine
> Skalarprodukt in Wikipedia. Aber Vorsicht: Ist er
> richtig?)
>
> 2. [mm]n\in[/mm] N und [mm]x,y\in \IR^n.[/mm] Beweise, dass für [mm]\IR^n[/mm] die
> Dreiecksungleichung gilt.
> [mm]|x+y|\le[/mm] |x|+|y|
>
> (Tipp: Aufgabe 1)
>
> Bei der Aufgabe verwirren mich die Tipps!!!
Dann lös' sie halt ohne Tip.
Wo der Tip zum Tragen kommt, merkt man eh meist erst, wenn man mal begonnen hat.
> Ich verstehe
> nicht, was ich mit dem allgemeinen Skalarprodukt hierbei
> anfangen soll.
Wie gesagt bzw. gefragt: geht es in der Aufgabe um das "ganz normale" Skalarprodukt oder um beliebige Skalarprodukte? Die Voraussetzungen sind mir nicht klar.
Sie sollten dem Einleitungstext zur Aufgabe bzw. den Gepflogenheiten Eurer Vorlesung zu entnehmen sein.
Generell solltest Du wissen, wie "Skalarprodukt" (bei Euch) definiert ist.
>
> zu 1: Hier kann ich mit dem Tipp nichts anfangen. Meine
> Idee wäre ein Beweis in dem [mm]\lambda \in \IR[/mm] enthalten ist,
> der
Hm. Deine Andeutungen der Beweisidee sind etwas vage.
Mach doch einfach mal. Und begründe jeden noch so winzigen Schritt mit der Nr. einer Def./eines Satzes aus Deiner Vorlesung.
>
> Zu 2 ist mir nur eine Beweisidee eingefallen:
>
> Es gilt ja hierbei [mm]\IR^n:{x_1,x_2,...,x_n}[/mm]
Das solltest Du nach x Jahren Mathestudium doch wirklich gescheit aufschreiben können...
>
> das Skalarprodukt muss ich doch in einem normierten raum
> betrachten, richtig?
Ich weiß nicht recht, was Du meinst.
Dies vielleicht: wenn man ein Skalarprodukt hat, induziert dieses eine Norm.
>
> Dann müsste es ja heißen:
> [mm]||\le\parallel x\parallel+\parallel y\parallel[/mm]
Hä?
>
> Dann kann ich quadrieren:
> [mm]\parallel x+y\parallel^2\le \parallel x\parallel^2+\parallel y\parallel^2[/mm]
Moment! Du hast mich abgehängt.
Wie quadrierst Du denn?
> [mm] \red{\parallel x+y\parallel^2}\le \parallel x\parallel^2+\parallel y\parallel^2 [/mm]
> [mm]\le[/mm] <x,x> + <x,y> + <y,x> + <y,y>
> [mm]\le \parallel x\parallel^2+2||+\parallel y\parallel^2[/mm]
>
> [mm]\le \parallel x\parallel^2+2\parallel x\parallel*\parallel y\parallel+\parallel y\parallel^2[/mm]
>
> [mm]\red{\le(\parallel x+y\parallel^2)}[/mm]
Ohne diese Gleichungskette in allen Einzelheiten zu studieren, kann man doch wohl im Anblick des Rotmarkierten feststellen, daß sie insgesamt nicht so aussagestark ist.
Mag sein, daß dies "nur" Folge des schlampigen Aufschriebs ist - den solltest Du allerdings glätten und nicht ich.
Schreib das mal vernünftig auf, dann kann man drüber reden.
>
> Durch Wurzelziehen erhalte ich dann die Ungleichung
Sehe ich (im Moment noch) nicht.
LG Angela
>
> Kann ich das so machen?
>
>
> LG
> heinze
</y,y></y,x></x,y></x,x>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 19.04.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Die Aufgabe lautet "Beweisen Sie!". Gleichzeitig wird uns aber gesagt, wo wir die Lösung finden (in Wikipedia und vielen Büchern). An Wikipedia würde ich ja noch zweifeln, aber wenn es in mehreren Büchern abgedruckt wurde, wird der Beweis schon richtig sein.
Nun gut...geschenkte Punkte, aber verstehen würde ich es trotzdem gern ; )
Der Beweis bei Wikipedia hat nur drei/vier Schritte. Ich tipp mal einen ab und hoffe, dass es da weggelassene Zwischenschritte gibt, die mir jemand erklärt. Ausmultipliziert hab ich das alles mal und es stimmt, davon versteh ich die Umformung aber leider nicht.
$ <x - [mm] \lambda [/mm] y , x - [mm] \lambda [/mm] y > = < x - [mm] \lambda [/mm] y , x > - [mm] \lambda [/mm] <x - [mm] \lambda [/mm] y , y > $
Mein Problem dürfte einfach darin bestehen, dass ich nicht weiß, was ich wo rausziehen darf, ohne etwas zu verändern.
LG
Fin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 19.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe deine Schwierigkeit nicht.
es gilt doch allgemein :
<a, b+c>=<a,b>+<a,c>
da wurde nirgends etwas "rausgezogen"
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Do 19.04.2012 | | Autor: | Fincayra |
Ah, ja genau, das hab ich gebraucht. Bin aber auch grad auf die gloreiche Idee gekommen, bei Wikipedia mal nach den "Rechenregeln" für das Skalarprodukt zu gucken. Jetzt ergibt das alles Sinn.
Ich gebe zu, dass das jetzt peinlich ist *rot wird*
Aber danke für die Hilfe *sich mal ganz schnell ins Bettchen legt um morgen wacher zu sein*
Gute Nacht : )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 22.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, ja genau, das hab ich gebraucht. Bin aber auch grad auf
> die gloreiche Idee gekommen, bei Wikipedia mal nach den
> "Rechenregeln" für das Skalarprodukt zu gucken. Jetzt
> ergibt das alles Sinn.
Vorsicht:
Nur, wenn ihr schon nachgewiesen habt, dass durch
$$a [mm] \bullet b:=\sum_{k=1}^n (a_k b_k)$$
[/mm]
(ich schreibe im Folgenden [mm] $\sum:=\sum_{k=1}^n$)
[/mm]
auch ein Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben ist, darfst Du einfach die Rechenregeln für das Skalarprodukt verwenden.
Andernfalls musst Du erst nachprüfen, dass [mm] $\bullet: \IR^n \times \IR^n: [/mm] (a,b) [mm] \mapsto \bullet(a,b):=a \bullet b=\sum (a_k b_k)$ [/mm] diese Eigenschaften hat (die man allgemein einer Abbildung zuspricht, um diese Skalarprodukt nennen zu dürfen):
Etwa Symmetrie:
[mm] $$\bullet(a,b)=a\bullet b=\sum (a_k b_k) \red{\;=\;}\sum (b_ka_k)=b\bullet a=\bullet(b,a)\,.$$
[/mm]
(Das rote [mm] $\red{\;=\;}$ [/mm] folgt wegen der Kommutativität der Multiplikation in [mm] $\IR\,.$)
[/mm]
Dann hast Du bei der Bilinearität auch noch was zu prüfen, wobei man sich hier wegen der oben gezeigten Symmetrie ein wenig ersparen kann. Es reicht eigentlich, zu zeigen
[mm] $$\bullet(a,\lambda b+\mu c)=\lambda\cdot (\bullet(a,b))+\mu\cdot (\bullet(a,c))\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] hier natürlich Skalare aus dem [mm] $\IR$ [/mm] sind.
Beachte bitte: Im Sinne der "gängigen Notation" schreibt man ja erstmal für eine Funktion $f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] für $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] erstmal [mm] $f(x)\,,$ [/mm] was man aber (faulerweise) mit den Komponenten, wenn man [mm] $x\,$ [/mm] als ZEILENVEKTOR auffasst, dann nicht mehr als [mm] $f((x_1,...,x_n))$ [/mm] schreibt (beachte, es ist [mm] $x=(x_1,...,x_n)$), [/mm] sondern definiert quasi [mm] $f(x_1,...,x_n):=f((x_1,...,x_n))\,.$ [/mm]
Analog schreibt man für $f: [mm] \IR^n\times \IR^n \to \IR$ [/mm] anstatt $f((x,y))$ direkt [mm] $f(x,y)\,.$ [/mm] In diesem Sinne ist bei mir mit [mm] $f=\bullet$ [/mm] dann die Notation [mm] $\bullet(a,b)$ [/mm] zu verstehen:
Man bildet ab [mm] $\IR^n \times \IR^n \ni [/mm] (a,b) [mm] \mapsto \bullet(a,b)\,,$ [/mm] wobei man [mm] $\bullet(a,b)$ [/mm] als andere Notation für $a [mm] \bullet [/mm] b$ definiert, und $a [mm] \bullet [/mm] b$ ist nun definiert, eben als [mm] $\sum (a_k b_k)\,.$
[/mm]
Im Prinzip kennst Du sowas schon:
Die Multiplikation [mm] $\cdot: \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] ordnet je einem Zahlenpaar $(r,s) [mm] \in \IR^2=\IR \times \IR$ [/mm] eine reelle Zahl zu. Rein formal ist erstmal
[mm] $$\cdot: \IR^2 \to \IR$$
[/mm]
dann gegeben durch
[mm] $$\IR^2 \ni [/mm] (r,s) [mm] \mapsto \cdot((r,s))\,,$$
[/mm]
wobei man abkürzend noch [mm] $\cdot(r,s):=\cdot((r,s))$ [/mm] schreibt.
(Klarer wird das ganze, wenn Du anstatt [mm] $\cdot$ [/mm] der Funktion mal einen anderen Namen gibst, etwa [mm] $M\,$ [/mm] wie "M"ultiplikation.)
Nun geht man davon aus, dass man weiß, wie man für zwei Zahlen [mm] $r,s\,$ [/mm] nun die Zahl $R:=r [mm] \cdot [/mm] s$ berechnet, und daher definiert man nun [mm] $\cdot((r,s))=\cdot(r,s)\red{\;:=\;}r \cdot s\,.$
[/mm]
P.S.
Schau' auch mal in meine andere Antwort, die ich hier geschrieben habe, rein: In dem Link dort habe ich einfach etwa mal direkt nachgerechnet, warum hier etwa $(a [mm] \bullet b)^2=\|a\|_2^2+2(a\bullet b)+\|b\|_2^2$ [/mm] gilt (unter Verwendung von $a [mm] \bullet a=\|a\|_2^2\,.$)
[/mm]
Natürlich kann man das auch schneller, wenn man einfach die Bilinearität von [mm] $\bullet$ [/mm] benutzt: Aber dazu muss man erstmal nachgewiesen haben, dass [mm] $\bullet$ [/mm] auch bilinear ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 So 22.04.2012 | | Autor: | heinze |
Das ist doch aber kein Beweis für den [mm] R^n [/mm] oder?
LG
heinze
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Hallo,
> Das
was meinst Du mit "das"?
> ist doch aber kein Beweis für den [mm]R^n[/mm] oder?
Der Beweis fürs allgemeine Skalarprodukt in der wikipedia?
Was läßt Dich daran zweifeln, daß er für den [mm] \IR^n [/mm] funktioniert?
Es wäre klug gewesen, das hier gleich mal mitzuteilen, dann könnten wir nämlich konkret auf Deine Sorgen und Bedenken eingehen.
Du mußt halt, wenn Du wissen willst, ob der dortige Beweis richtig ist, ihn auf Herz und Nieren prüfen, dh. jeden Schritt, der dort vollzogen wurde, mit der Nr. eines Satzes oder einer Def. aus Deiner Vorlesung begründen. Gelingt dies, so, weißt Du, daß der Beweis richtig ist.
Ohne Begründungen ist er falsch - jedenfalls werden Deine Chefs ihn, selbst wenn er an sich richtig ist, ohne Begründungen mit 0 P. bewerten, und so verstehe ich auch den gegebenen Tip: übernimm das Geschriebene, egal ob in der wikipedia oder in schlauen Büchern, nicht ungeprüft.
LG Angela
>
>
> LG
> heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. [mm]n\in[/mm] N. Beweise, dass für alle [mm]x,y\in \IR^n[/mm] die
> Ungleichung von cauchy Schwarz gilt
>
> [mm]|x*y|\le[/mm] |x|*|y|
>
> (Tipp: Es gibt einen Beweis für das allgemeine
> Skalarprodukt in Wikipedia. Aber Vorsicht: Ist er
> richtig?)
darüber habe ich erst kürzlich was geschrieben:
Lies' mal hier.
Warum man da vorsichtig sein soll, weiß ich nicht - denn das, worauf ich mich beziehe, steht dort absolut korrekt (und findet man in mehreren Linearen Algebra Büchern auch - etwa in Bosch, Lineare Algebra, denke ich bzw. glaube ich mich zu erinneren).
Aber dass man mit Wiki-Inhalten immer vorsichtig sein sollte (manchmal ist da etwas verdreht oder eine Voraussetzung wurde vergessen oder oder oder) - ist sicher immer zu beachten!
Gruß,
Marcel
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