Cauchyfolge, äquiv. Definition < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Sa 11.12.2010 | | Autor: | aly19 |
Hallo,
Ich habe da mal eine Frage und zwar habe ich gerade einen Beweis formuliert und da verwende ich, dass folgende Aussagen äquivalent sind, aber ich bin mir nicht sicher ob das stimmt.
Also:
Ich habe eine Folge [mm] (f_n(a))_{n \in \IN} [/mm] die in [mm] \IR [/mm] konvergiert. Dann ist das ja äquivalent dazu, dass es eine Cauchyfolge ist, also:
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN \exists [/mm] N [mm] \in \IN: |f_n(a)-f_m(a)|<1/k \forall [/mm] n,m >=N.
Ist diese Aussage äquivalent zu folgendem:
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN \exists [/mm] N [mm] \in \IN: |f_N(a)-f_m(a)|<1/k \forall [/mm] m >=N ????
Müsste doch eigentlich so sein, weil der Abstand ja höchstens kleiner wird, wenn n>=N ist oder?
Wäre super wenn mir das jemand beantworten kann.
Viele Grüße
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Huhu aly,
du kannst dir die Äquivalenz beider Aussagen doch recht schnell selbst beweisen.
Für [mm] "\Rightarrow" [/mm] setze $n:= N$
Für [mm] "\Leftarrow" [/mm] verwende die Dreiecksungleichung.
MFG,
Gono.
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