Cauchyfolge bez. Metrik < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf [mm] \IR [/mm] sei die Abbildung
d : [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \to [/mm] | arctan x - arctan y |
definiert.
1 ) Zeige, dass die Folge [mm] (x_{n}), [/mm] die durch [mm] x_{n} [/mm] := tan ( [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) , n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} gegeben ist, eine Cauchyfolge bezüglich dieser Metrik ist.
2) Ist diese Folge auch konvergent bezüglich dieser Metrik ? Begründen Sie Ihre Aussage. Geben Sie, falls die Folge konvergent ist, den Grenzwert an. |
Hi Zusammen,
ich hab hier mal wieder eine ein wenig für mich persönlich schwierige Aufgabe, die ich mit euren Tipps hoffe ich doch mal lösen sollte.
Zur 1) habe ich mir die Überlegung gemacht dass ich eigentlich ja zeigen müsste das zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein m [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n\ge [/mm] m gilt d(a(n), a(m) ) < [mm] \varepsilon. [/mm] So zwar habe ich diese Definition von der Cauchyfolge nur weiß ich nicht wie ich genau das auf die Folge [mm] x_{n} [/mm] in Verbindung bringen kann... ich hoffe ihr habt einige Tipps für mich hierzu..
Zur 2) hier habe ich überhaupt nicht die leiseste Ahnung wie ich anfangen soll, wie zeige ich den überhaupt das eine Folge konvergent bezüglich einer Metrik ist ? Mit welchen Konvergenzkriterium könnte ich hier anfangen?....
Ich bedank mich schonmal im Vorraus für eure Tipps und Ideen.
Wünsch euch ein ruhesames Wochenende =)
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Hallo lempickitty,
mal zu 1)
> Auf [mm]\IR[/mm] sei die Abbildung
>
> d : [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR \to \IR[/mm]
> (x,y) [mm]\to[/mm] | arctan x - arctan y |
>
> definiert.
>
>
> 1 ) Zeige, dass die Folge [mm](x_{n}),[/mm] die durch [mm]x_{n}[/mm] := tan ( [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ) , n [mm]\in \IN[/mm] \ {0} gegeben
> ist, eine Cauchyfolge bezüglich dieser Metrik ist.
>
> 2) Ist diese Folge auch konvergent bezüglich dieser Metrik
> ? Begründen Sie Ihre Aussage. Geben Sie, falls die Folge
> konvergent ist, den Grenzwert an.
> Hi Zusammen,
>
> ich hab hier mal wieder eine ein wenig für mich
> persönlich schwierige Aufgabe, die ich mit euren Tipps
> hoffe ich doch mal lösen sollte.
>
> Zur 1) habe ich mir die Überlegung gemacht dass ich
> eigentlich ja zeigen müsste das zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> ein m [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass für alle [mm]n\ge[/mm] m gilt d(a(n),
> a(m) ) < [mm]\varepsilon.[/mm] So zwar habe ich diese Definition von
> der Cauchyfolge
Woher hast du die denn?
Ich kenne:
Zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N\in\IN[/mm], so dass für alle [mm]n,m\ge N[/mm] gilt [mm]d(a_n,a_m)<\varepsilon[/mm]
> nur weiß ich nicht wie ich genau das auf
> die Folge [mm]x_{n}[/mm] in Verbindung bringen kann... ich hoffe ihr
> habt einige Tipps für mich hierzu..
Das gesuchte [mm]N[/mm] "konstruierst" du dir, indem du mal [mm]d(x_n,x_m)[/mm] aufschreibst und geeignet abschätzt (es soll ja [mm]<\varepsilon[/mm] sein ...)
>
> Zur 2) hier habe ich überhaupt nicht die leiseste Ahnung
> wie ich anfangen soll, wie zeige ich den überhaupt das
> eine Folge konvergent bezüglich einer Metrik ist ? Mit
> welchen Konvergenzkriterium könnte ich hier anfangen?....
>
>
> Ich bedank mich schonmal im Vorraus für eure Tipps und Ideen.
Ein "r" genügt völlig ...
> Wünsch euch ein ruhesames Wochenende =)
Dir auch
Gruß
schachuzipus
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Zur 1) mein [mm] d(x_n [/mm] , [mm] x_m [/mm] ) = |arctan [mm] x_n [/mm] - arctan [mm] x_m [/mm] | was wäre wenn ich mein N := tan ( [mm] \bruch{\pi}{2}\pi [/mm] ) angebe ? geht das?
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Hallo nochmal,
> Zur 1) mein [mm]d(x_n[/mm] , [mm]x_m[/mm] ) = |arctan [mm]x_n[/mm] - arctan [mm]x_m[/mm] | was
> wäre wenn ich mein N := tan ( [mm]\bruch{\pi}{2}\pi[/mm] ) angebe ?
> geht das?
Ich denke nicht, es ist [mm]N[/mm] von [mm]\varepsilon[/mm] abhängig.
Gib dir bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und bel. [mm]n\ge m\ge N[/mm] mit noch zu bestimmendem [mm]N[/mm]
Dann setze doch konkret dein [mm]x_n, x_m[/mm] ein.
Was steht denn dann im Betrag??
Einfach mal hinschreiben, die nötige Abschätzung ist dann nicht schwierig ...
Gruß
schachuzipus
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kann ich denn einfach sagen: [mm] \varepsilon= \bruch{1}{2} [/mm] und n= 1 = m ; n [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge [/mm] N ?
und wie folgere ich daraus denn nun mein [mm] x_n, x_m [/mm] ? ... tut mir leid wenn die frage sich nun total doof anhört aber ich blick da gar nicht mehr durch gerade.
danke schonmal für die antwort
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Hallo nochmal,
> kann ich denn einfach sagen: [mm]\varepsilon= \bruch{1}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und
> n= 1 = m ; n [mm]\ge[/mm] m [mm]\ge[/mm] N ?
Nein, Quark!
Es ist [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben.
> und wie folgere ich daraus denn nun mein [mm]x_n, x_m[/mm] ? ...
Hää??
Wieso tust du nicht, was ich dir seit Tagen rate:
Setze [mm]d(x_n,x_m)[/mm] mit der gegebenen Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}=\ldots[/mm] doch mal ein ...
Solange du das nicht tust, kommst du nicht weit.
Schreibe das auf und alles wird klar!
Nimm dabei o.E. an, dass [mm]n\ge m[/mm] ist
> tut mir leid wenn die frage sich nun total doof anhört
> aber ich blick da gar nicht mehr durch gerade.
Das kann ich nicht nachvollziehen.
Was ist so ungleublich schwer daran, dem Tipp zu folgen und einzusetzen?
>
> danke schonmal für die antwort
>
>
Gerne
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 19.03.2011 | | Autor: | fred97 |
$arctan(tan(x))=x$ für |x|< [mm] \pi/2
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Sa 19.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Zur 1) habe ich mir die Überlegung gemacht dass ich
> > eigentlich ja zeigen müsste das zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> > ein m [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass für alle [mm]n\ge[/mm] m gilt d(a(n),
> > a(m) ) < [mm]\varepsilon.[/mm] So zwar habe ich diese Definition von
> > der Cauchyfolge
>
> Woher hast du die denn?
>
> Ich kenne:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N\in\IN[/mm], so dass für
> alle [mm]n,m\ge N[/mm] gilt [mm]d(a_n,a_m)<\varepsilon[/mm]
wenn mich nicht alles taeuscht, sind die beiden Definitionen aequivalent.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 21.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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