Cauchyfolgen auf Q < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:42 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Beathans |
| Aufgabe | Zu beweisen ist: Auf [mm] \IQ [/mm] gibt es überabzählbar viele nicht benachbarte, nicht konvergente Cauchyfolgen.
Benachbart sind zwei Folgen [mm](a_n), (b_n) [/mm]wenn
[mm] d(a_n,b_n) \rightarrow 0 [/mm] gilt. |
Ich hoffe jemand kann mir einen Hint dazu geben, da ich überhaupt keine Idee habe wie ich das mit den überabzählbar Vielen angehen soll, schliesslich komme ich bei meinen Überlegungen immer wieder darauf zurück, die Folgen zu indexieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:44 Mo 15.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu beweisen ist: Auf [mm]\IQ[/mm] gibt es überabzählbar viele
> nicht benachbarte, nicht konvergente Cauchyfolgen.
>
> Benachbart sind zwei Folgen [mm](a_n), (b_n) [/mm]wenn
> [mm]d(a_n,b_n) \rightarrow 0[/mm] gilt.
>
>
>
> Ich hoffe jemand kann mir einen Hint dazu geben, da ich
> überhaupt keine Idee habe wie ich das mit den
> überabzählbar Vielen angehen soll, schliesslich komme ich
> bei meinen Überlegungen immer wieder darauf zurück, die
> Folgen zu indexieren.
Angenommen, es gibt nur abzaehlbar viele. Sei [mm] $(a_n^{(m)})_n$, [/mm] $m [mm] \in \IN$ [/mm] eine Aufzaehlung all dieser. D.h. zu jeder nicht konvergenten Cauchy-Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es ein $m$, so dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] und [mm] $(a_n^{(m)})_n$ [/mm] benachbart sind.
Jetzt konstruiere mit einer Art ![[]](/images/popup.gif) Cantorschen Diagonalverfahren (sagt dir das was?) eine Cauchy-Folge, die nicht in dieser Liste vorkommt, und die nicht konvergent ist.
Es gibt auch andere Moeglichkeiten das zu machen, je nachdem was ihr bisher schon zum Thema hattet.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Beathans |
Dieses Verfahren ist mir nicht unbekannt, ich werde dies versuchen, danke für die gute Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:44 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Ist a [mm] \in \IR \setminus \IQ, [/mm] so ex. eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] r_n \to [/mm] a
[mm] (r_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, konvergiert aber nicht in [mm] \IQ
[/mm]
Da [mm] \IR \setminus \IQ, [/mm] überabzählbar ist, gibt es überabzählbar viele solche Folgen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mo 15.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Weitere Möglichkeit:
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> Ist a [mm]\in \IR \setminus \IQ,[/mm] so ex. eine Folge [mm](r_n)[/mm] in
> [mm]\IQ[/mm] mit [mm]r_n \to[/mm] a
>
> [mm](r_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge, konvergiert aber nicht in [mm]\IQ[/mm]
>
> Da [mm]\IR \setminus \IQ,[/mm] überabzählbar ist, gibt es
> überabzählbar viele solche Folgen
ja, so geht das natuerlich auch. Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die reellen Zahlen gerade konstruiert werden und man mit deren Ueberabzaehlbarkeit noch nicht argumentieren moechte. Was aber nicht der Fall sein muss.
Wenn man die reellen Zahlen (inkl. [mm] $\overline{\IQ} [/mm] = [mm] \IR$) [/mm] schon hat ist es natuerlich viel einfacher, so vorzugehen 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Felix,
ja, man ist halt nicht im Bilde, welchen Stand ein Fragesteller hat und was er benutzen kann und darf.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Beathans |
Danke für deine Hilfe
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