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| Aufgabe | Verläuft eine Integration durch Polstellen des Integranden, dann können sich die divergenten Anteile bei der Ausführung als Cauchysches Hauptwerintegral in der komplexen Ebene herausheben. Berechne
i) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx
[/mm]
ii) [mm] \integral_{|z|=1}^{} \bruch{1}{1+z}dz [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder ein Problem in der Funktionstheorie.
Leider weiß ich nicht wie ich bei den Aufgaben anfangen soll zu rechnen.
Ansatz von i)
[mm] \integral_{}^{} \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx [/mm] = [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow0} [/mm] [ [mm] \integral_{-\infty}^{1-\varepsilon}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx [/mm] + [mm] \integral_{1+\varepsilon}^{\infty}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx [/mm] ]
Was muss ich für [mm] \varepsilon [/mm] einsetzten? Wie gehe ich weiter vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 07.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Verläuft eine Integration durch Polstellen des
> Integranden, dann können sich die divergenten Anteile bei
> der Ausführung als Cauchysches Hauptwerintegral in der
> komplexen Ebene herausheben. Berechne
>
> i) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx[/mm]
>
> ii) [mm]\integral_{|z|=1}^{} \bruch{1}{1+z}dz[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> ich habe mal wieder ein Problem in der Funktionstheorie.
> Leider weiß ich nicht wie ich bei den Aufgaben anfangen
> soll zu rechnen.
>
> Ansatz von i)
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx = \limes_{\varepsilon\rightarrow0} [ \integral_{-\infty}^{1-\varepsilon}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx + \integral_{1+\varepsilon}^{\infty}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx ][/mm]
Die Idee ist richtig, aber der Integrand hat zwei Pole, nämlich bei $x=+1$ und bei $x=-1$. Du musst also in drei Teile zerlegen:
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow0} \left[ \integral_{-\infty}^{-1-\varepsilon}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx + \integral_{-1+\varepsilon}^{+1-\varepsilon}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx + \integral_{1+\varepsilon}^{\infty}\bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}dx \right][/mm]
>
> Was muss ich für [mm]\varepsilon[/mm] einsetzten?
Für [mm] $\varepsilon$ [/mm] setzt du gar nichts ein, du willst ja den Grenzwert für [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ berechnen. Du must die Integrale für endliches [mm] $\varepsilon$ [/mm] ausrechnen und dann erst den Grenzwert bilden.
> Wie gehe ich weiter vor.
So wie die Integrale da stehen, findest du keine Stammfunktion und kannst sie daher auch nicht direkt ausrechnen.
Ein guter Trick ist es, den Integranden in eine Summe zweier Terme aufzuspalten: einer ohne Pole, einer mit Pole. Wenn man das geschickt macht, dann kann man das Integral über den ersten Summanden ausrechnen, und für den zweiten Summanden eine Stammfunktion angeben.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Aufspaltung zu finden; z.B. kannst du den Integranden in eine Reihe entwickeln und Polterm explizit abspalten. Hier benutze ich eine einfachere Variante: Nehmen wir den Pol an der Stelle $x=1$. Der Nenner hat dort eine Nullstelle, der Zähler [mm] $e^{-ikx}$ [/mm] den Wert [mm] $e^{-ik}$. [/mm] Also hat
[mm] e^{-ikx} - e^{-ik} [/mm]
bei $x=1$ eine Nullstelle, und in
[mm] \bruch{e^{-ikx} - e^{-ik}}{1-x^2} [/mm]
hebt sich Polstelle bei $x=1$ weg. Also habe ich
[mm] \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2} = \bruch{e^{-ikx} - e^{-ik}}{1-x^2} + \bruch{e^{-ik}}{1-x^2} [/mm] ,
und die erste Summand hat keinen Pol bei $x=1$.
Nun mache ich dasselbe Spiel an der zweiten Polstelle und bekomme
[mm] \bruch{e^{-ikx}}{1-x^2}= \bruch{e^{-ikx} - e^{-ik} - e^{+ik}}{1-x^2} + \bruch{e^{-ik}+e^{+ik}}{1-x^2} [/mm] .
Das erste Integral kannst du wie üblich ausrechnen, für das zweite musst du den Cauchyschen Hauptwert bestimmen. Da aber der Vorfaktor [mm] $(e^{-ik}+e^{+ik})=2\cos [/mm] k$ nicht von x abhängt, kannst du ihn vor das Integral ziehen und hast also
[mm] 2\cos k \limes_{\varepsilon\rightarrow0} \left[ \integral_{-\infty}^{-1-\varepsilon}\bruch{1}{1-x^2}dx + \integral_{-1+\varepsilon}^{+1-\varepsilon}\bruch{1}{1-x^2}dx + \integral_{1+\varepsilon}^{\infty}\bruch{1}{1-x^2}dx \right][/mm] .
Das ist fein, denn die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{1-x^2}$ [/mm] kannst du angeben und damit auch die Grenzen einsetzen und schließlich den Grenzwert bilden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Fr 08.06.2012 | | Autor: | diemelli1 |
Danke für die schnelle Antwort.
Werde mich am WE damit auseinander setzen.
Grüße
Melli
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