Cauchysche Integralform < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 13.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Bestimme das Wegintegral [mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|\gamma|=1}{\bruch{1/x}{x-z} dx}. [/mm] Kann man die Cauchysche Integralformel auch anwenden, falls die Holomorphie im Inneren nicht gegeben ist? |
Hallo,
bei dem zu berechnenden Integral habe ich mir verschiedene Fälle angeguckt und das Integral gelöst. Nur bei |z|<1 bin ich mir nicht ganz sicher. Das Integral hat ja für diesen Fall zwei Singularitäten. Deshalb würde ich den Weg (Kreis um 0 mit Radius 1) in zwei Wege unterteilen, sodass ich zwei Integrale habe, allerdings sind dann die beiden Wege keine Kreise mehr, sodass ich die Cauchysche Integralformel nicht anwenden kann.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mi 14.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> Bestimme das Wegintegral
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|\gamma|=1}{\bruch{1/x}{x-z} dx}.[/mm]
> Kann man die Cauchysche Integralformel auch anwenden, falls
> die Holomorphie im Inneren nicht gegeben ist?
> Hallo,
>
> bei dem zu berechnenden Integral habe ich mir verschiedene
> Fälle angeguckt und das Integral gelöst. Nur bei |z|<1
> bin ich mir nicht ganz sicher. Das Integral hat ja für
> diesen Fall zwei Singularitäten. Deshalb würde ich den
> Weg (Kreis um 0 mit Radius 1) in zwei Wege unterteilen,
> sodass ich zwei Integrale habe, allerdings sind dann die
> beiden Wege keine Kreise mehr, sodass ich die Cauchysche
> Integralformel nicht anwenden kann.
Die Cauchysche Integralformel gilt auch für nicht kreisförmige Wege.
Eine andere Methode: Forme den Integranden durch Partialbruchzerlegung um:
[mm] \bruch{1/x}{x-z} = \bruch{A}{x} + \bruch{B}{x-z} [/mm] ,
dann kannst du jedes der beiden Einzelintegrale mit der Integralformel berechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 14.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für den Tipp.
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