Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es keine holomorphe Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] gibt, für die [mm] f(z)=\overline{z}^2 [/mm] für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z|=1 gilt.
(Hinweis: Verwenden Sie die Cauchysche Integralformel) |
Hallo alle zusammen,
ich hänge leider bei dieser Aufgabe fest. Bisher habe ich einfach etwas rumprobiert. Das ist mein Ansatz:
Sei [mm] K=\{z\in\IC: |z|\le 1\}, [/mm] dann gilt für z aus dem Inneren von K:
[mm] f(z)=\bruch{1}{2\pi*i}*\integral_{\partial K}^{}{\bruch{f(w)}{w-z} dw}
[/mm]
Wenn wir jetzt [mm] \partial [/mm] K mit Hilfe von [mm] \gamma:[0,2\pi]\to\IC, \gamma(t)=e^{it} [/mm] durchlaufen, dann gilt:
[mm] f(z)=\bruch{1}{2\pi*i}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{f(\gamma(t))*\gamma'(t)}{\gamma(t)-z} dt}=\bruch{1}{2\pi*i}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{-2it}*i*e^{it}}{e^{it}-z} dt}=\bruch{1}{2\pi*i}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{-it}*i}{e^{it}-z} dt}=\bruch{1}{2\pi*i}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{i}{e^{it}*(e^{it}-z)} dt}
[/mm]
So nun weiß ich leider nicht weiter. Hilft mir das hier überhaupt???
Wäre dankbar für jede Hilfe
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, dass es ein holomorphes $ [mm] f:\IC\to\IC [/mm] $ gibt, für das $ [mm] f(z)=\overline{z}^2 [/mm] $ für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $ mit |z|=1 gilt.
Berechne mit Hilfe der Cauchyschen Integralformeln für Ableitungen
[mm] f^{(n)}(0) [/mm] für jedes n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe ,so gilt:
[mm] f^{(n)}(0) [/mm] = 0 für jedes n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 17.03.2009 | | Autor: | Docy |
Hallo fred97,
könntest du mir vtl vorrechnen, wie du genau auf [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] kommst? Ich komm da nämlich nicht drauf.
Dann hab ich noch ne Frage, wenn dein Ergebnis stimmen sollte ^^. Dann heißt es doch, dass man, wenn man f durch sein Taylorpolynom darstellt, folgendes bekommt:
f(z)=0 [mm] \forall z\in\IC [/mm]
was natürlich ein Widerspruch wäre, oder? Das würde dann heißen, dass eine solche Funktion nicht existieren kann.
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
> könntest du mir vtl vorrechnen, wie du genau auf
> [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm] kommst? Ich komm da nämlich nicht drauf.
[mm] $f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{w^{n+1}} dw}$ [/mm] = .... = [mm] \bruch{n!}{2 \pi }\integral_{0}^{2 \pi}{e^{-i(n+2)t} dt} [/mm] = 0
> Dann hab ich noch ne Frage, wenn dein Ergebnis stimmen
> sollte ^^. Dann heißt es doch, dass man, wenn man f durch
> sein Taylorpolynom darstellt, folgendes bekommt:
> f(z)=0 [mm]\forall z\in\IC[/mm]
Genau
> was natürlich ein Widerspruch wäre, oder? Das würde dann
> heißen, dass eine solche Funktion nicht existieren kann.
Ja, das solltest Du zeigen.
FRED
>
> Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Gerade eben ist mir noch eine ganz einfache Lösung eingefallen:
Nimm an, f sei auf [mm] \IC [/mm] holomorph und $ [mm] f(z)=\overline{z}^2 [/mm] $ für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $ mit |z|=1.
Setze $g(z) = z^2f(z)$. Dann ist g auf [mm] \IC [/mm] holomorph und
(*) $g(z) = [mm] |z|^4 [/mm] = 1$ für |z|= 1.
Die Cauchysche Integralformel liefert nun den Widerspruch ( wobei $ [mm] \gamma:[0,2\pi]\to\IC, \gamma(t)=e^{it} [/mm] $):
$0 = g(0) = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{g(z)}{z} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = 1$
(beachte: $g(z) = 1$ auf [mm] \gamma([0, 2\pi])
[/mm]
FRED
(P.S.: falls der Identitätssatz bekannt ist, so folgt aus diesem und (*):
g(z) = 1 auf ganz [mm] \IC, [/mm] also f(z) = [mm] 1/z^2
[/mm]
Widerspruch)
FRED
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