Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Di 05.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $a\in\IC$, $\Gamma$ [/mm] glatter geschlossener Pfad, der $a$ nicht enthaelt. Berechne mit der Cauchyschen Integralformel
[mm] $\int_{\Gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz$ [/mm] |
Hallo an alle,
da ich nur die Cauchysche Integralformel fuer Kreisscheiben kenne, frage ich mich bei dieser Aufgabe, wie ich sie loesen soll.
Hat jemand eine Idee?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a\in\IC[/mm], [mm]\Gamma[/mm] glatter geschlossener Pfad, der [mm]a[/mm] nicht
> enthaelt. Berechne mit der Cauchyschen Integralformel
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> [mm]\int_{\Gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz[/mm]
> Hallo an alle,
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> da ich nur die Cauchysche Integralformel fuer Kreisscheiben
> kenne, frage ich mich bei dieser Aufgabe, wie ich sie
> loesen soll.
Habt ihr keine allgemeinere Version gehabt ? z.B. diese
Sei G offen , f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph, [mm] \Gamma [/mm] ein geschlossener Weg in G mit
[mm] Ind_{\gamma}(w) [/mm] = 0 für jedes w nicht in G, dann:
$f(u) [mm] Ind_{\gamma}(u) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z-u} dz}$ [/mm] für u [mm] \in [/mm] G \ [mm] \Gamma
[/mm]
Wobei [mm] Ind_{\gamma}(w) [/mm] = Umlaufzahl
FRED
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> Hat jemand eine Idee?
>
> Danke und Gruss
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:42 Di 05.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Habt ihr keine allgemeinere Version gehabt ? z.B. diese
Doch. Ich habe Sie gerade gefunden. Wie aber mache ich das nun aber mit dem Nenner. Dort steht "hoch 3" und nicht "hoch 1"? Gibt es von Deiner Formel eine Verallgemeinerung fuer Ableitungen?
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 05.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
1. Frage: Gibt es etwa eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel der Form:
[mm] $D\subset\IC$ [/mm] offen, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph, [mm] $\gamma$ [/mm] glatter und geschlossener Weg mit [mm] $\mathrm{spur}(\gamma)\subset [/mm] D$ und [mm] $\mathrm{Ind}_{\gamma}(w)=0$ [/mm] für [mm] $w\notin [/mm] D$, [mm] $n\in\IN_0$:
[/mm]
[mm] $f^{(n)}(z_0)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$
[/mm]
2. Frage: Angenommen die erste Frage wurde mit "ja" beantwortet, dann lässt sich die Aufgabe doch relativ schnell durch
[mm] $\int_{\gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}\cdot f^{(2)}(a)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(a)=\pi i\cdot e^a(2+a)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(a)$
[/mm]
lösen, oder? Ergänzung: Die ersten zwei Ableitungen von [mm] $f(z)=ze^z$ [/mm] sind
[mm] $f^{(1)}(z)=e^z(1+z)$
[/mm]
[mm] $f^{(2)}(z)=e^z(2+z)$
[/mm]
Wäre schön, wenn mir an dieser Stelle nochmals jemand helfen könnte.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 09.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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