Cauchyscher Integralsatz, Rand < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Cauchyschem Integralsatz (Stetigkeit am Rand version):
[mm] $\gamma$ [/mm] einfach geschlossener Integrationsweg, [mm] $f:\overline{\mathrm{int}(\gamma)}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig und [mm] $f:\mathrm{int}(\gamma)\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph. Dann gilt:
[mm] $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich braeuchte bitte einmal eine anschauliche (graphische) Idee fuer den Beweis.
Genauer habe ich in meiner Aufgabe:
[mm] $U\subset\IC$ [/mm] offen,
$L$ Gerade in [mm] $\IC$ [/mm] (die durch die Menge $U$ verlaeuft)
[mm] $f:U\rightarrow\IC$ [/mm] stetig auf $U$ und holomorph auf [mm] $U\backslash [/mm] L$
[mm] $\triangle\subset [/mm] U$ abgeschlossenes Dreieck (mit einer Kante auf $L$!!!)
[mm] $\gamma=\partial\triangle$
[/mm]
Mit dem obigen Satz erhalte ich nun, dass das Integral ueber den Rand des Dreiecks verschwindet. Wenn ich diesen Satz allerdings nicht kenne, wie erhalte ich dieses Resultat? Also
[mm] $\int_{\partial\triangle}f(z)dz=0$
[/mm]
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Kann mir hierbei tatsaechlich niemand weiterhelfen? Da es sich hierbei nur um einen kleineren Aufgabenteil handelt, kann dieser nicht so schwierig sein. Please help.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Di 16.06.2009 | | Autor: | zorin |
[mm]\overline{\mathrm{int}(\gamma)}[/mm] ist kompakt, also ist f dort glm. stetig. Wie kann man dann das Integral über [mm] \gamma [/mm] mit dem Integral über eine Kurve im Inneren vergleichen, die [mm] \gamma [/mm] nahe kommt?
[mm] \gamma [/mm] ist einfach geschlossen, gibt also nur eine innere Komponente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, danke zunaechst fuer Deine Antwort
> [mm]\overline{\mathrm{int}(\gamma)}[/mm] ist kompakt, also ist f
> dort glm. stetig.
Okay, denn eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ist der gleichmaessig stetig.
> Wie kann man dann das Integral über
> [mm]\gamma[/mm] mit dem Integral über eine Kurve im Inneren
> vergleichen, die [mm]\gamma[/mm] nahe kommt?
Tja, gute Frage. Also ich stelle mir das wie folgt vor:
Zunaechst einmal ist das Kurvenintegral
[mm] $\int_{\gamma}f(z)dz$
[/mm]
wohldefiniert, da $f$ im Inneren und auf der Kurve stetig ist. Nun nehme ich mir eine Kurve [mm] $\gamma_{\varepsilon}$ [/mm] her, die sich im Inneren der einfach geschlossenen Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] befindet und von dieser einen maximalen Abstand von [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] hat. Wir wollen den Grenzprozess fuer [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ untersuchen, genauer:
[mm] $\int_{\gamma}f(z)dz=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_{\varepsilon}}f(z)dz$
[/mm]
Da $f$ im Inneren von [mm] $\gamma$ [/mm] holomorph ist und [mm] $\gamma_{\varepsilon}$ [/mm] im Inneren von [mm] $\gamma$ [/mm] liegt, folgt
[mm] $\int_{\gamma_{\varepsilon}}f(z)=0\quad\forall\,\varepsilon>0$
[/mm]
Da sowohl das Integral als auch $f$ stetig sind, folgt, dass der obige Limes gegen $0$ geht. Damit ist $f$ insbesondere holomorph auf dem Abschluss von [mm] $\gamma$.
[/mm]
War das so gemeint? Wo geht hierbei die gleichmaessige Stetigkeit ein? Waere schoen, wenn mir nochmal jemand helfen koennte.
> [mm]\gamma[/mm] ist einfach geschlossen, gibt also nur eine innere
> Komponente.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 16.06.2009 | | Autor: | zorin |
> [mm]\int_{\gamma}f(z)dz=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\gamma_{\varepsilon}}f(z)dz[/mm]
>
> Wo geht hierbei die gleichmaessige
> Stetigkeit ein?
Was bedeutet dieser Grenzwert bzw wie würde man rechnen?
Mit glm. Stetigkeit bzw durch die Kompaktheit könnte man
[mm] |f(\gamma(t))\gamma'(t)-f(\gamma_{\varepsilon}(t))\gamma_{\varepsilon}'(t)|
[/mm]
glm auf dem ganzen Intervall abschätzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Was bedeutet dieser Grenzwert bzw wie würde man rechnen?
> Mit glm. Stetigkeit bzw durch die Kompaktheit könnte man
>
> [mm]|f(\gamma(t))\gamma'(t)-f(\gamma_{\varepsilon}(t))\gamma_{\varepsilon}'(t)|[/mm]
> glm auf dem ganzen Intervall abschätzen.
>
Ja Du hast Recht. Damit bekomme ich es hin. Vielen Dank
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