Cayley-Tafel=Verknüpfungstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Frage1:
Es ist zuzeigen anhand der Cayley-Tafel, dass [mm] \IZ_4 [/mm] eine Gruppe darstellt. Die Kommutativität, sowie Inverses und Einselement habe ich schon nachgewiesen. Es bleibt die Assoziativität zu zeigen, die man ja nicht direkt der Cayley-Tafel ansehen kann.
Ohne weitere Einschränkung wären das bei 4 Elementen ja [mm] 2*4^3 [/mm] =128 Rechnungen.
Deshalb hab ich im Buch dazugelesen:
"Wir können aber einige einfache Tatsachen verwenden, um den Rechenaufwand zu reduzieren. Zum einen folgt direkt aus der Kommutativität, dass für alle [mm] a,b\in [/mm] G: a+(a+b)=(a+b)+a ist. Ferner können wir alle Rechnungen weglassen, in denen das Einselement vorkommt: e + (a+b)= a + b = (e+a)+b, a+(e+b)=a+b=(a+e)+b, a+(b+e)=a+b=(a+b)+e,..
Für a,b,c verschieden genügt es dann zu zeigen, dass a+(b+c)=b+(c+a)=c+(a+b) gilt. Daraus folgt dann wegen der Kommutativität schon da Assoziativgesetz für a,b,c."
Frage 2:
"Nachdem in einer Gruppe jede Zeile und jede Spalte der Cayley--Tafel eine Permutation der Elemente sein muss..." |
Hallo zusammen,
1) Fehlt da dann nicht:
a+(b+b)=(a+b)+b
b+(a+a)=(b+a)+a
a+(c+c)=(a+c)+c
...usw, alle Rechnungen in dem Schema?
2) Mir ist nicht ganz klar warum das sein muss.
Im Skript ist verwiesen auf die Proposition:
Sind [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe und g,h,k [mm] \in [/mm] G, dann gilt:
Die Gleichung g [mm] \circ [/mm] x =h hat in G die eindeutige Lösung
x = [mm] g^{-1} \circ [/mm] h
Was hat das mit der obigen Aussage zu tun?
Liebe Grüße,
sissie
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Und alle fragen sich: Was möchte ein Dozent mit solchen Aufgaben erreichen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Ich verstehe nicht ganz. Das sind Fragen von mir die aufgetaucht sind beim Lesen meines Buches.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mi 15.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Deine Frage 1 kann vielleicht jemand anderes beantworten. Ich sehe nicht, warum man die Fälle wegdiskutieren kann.
Deine zweite Frage: Beweis durch Widerspruch.
Wenn es keine Permutation ist, muss ein Element doppelt vorkommen. Dann ist die Lösung der Gleichung aber nicht mehr eindeutig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
danke chrisno ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 17.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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