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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 21.11.2013 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm](X_n)_n[/mm] eine Folge von reellen Zufallsvariablen mit
[mm]\lim_{n\to\infty}X_n=c[/mm] [mm]P[/mm]-fast sicher mit [mm]c\in\mathbb R[/mm]. Dann gilt:
[mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=c[/mm] [mm]P[/mm]-fast sicher |
Hallo zusammen,
ich hab die Aussage im Internet gefunden und frage mich gerade, wie man das
wohl beweisen könnte. Für reelle Zahlen/deterministische Funktionen gilt die Aussage ja so: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz
Leider kann man die Aussage ja nicht mithilfe Continious Mapping Theorem
mit dem Zusatz "P-fast sicher" versehen, da die Summe ja nicht (im Limes)
aus endlich vielen Summanden besteht. Komme ansonsten auch nicht weiter.
Hat jemand eine Idee?
Liebe Grüße
Christian
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Hiho,
was spricht dagegen, dass so zu schreiben?
[mm] $\lim_{n\to\infty} X_n [/mm] = c$ [mm] \IP [/mm] - fast sicher
[mm] $\gdw \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) [/mm] = c$ für fast alle [mm] $\omega \in \Omega$
[/mm]
Nun hast du nur noch reelle Zahlenfolgen und damit:
[mm] $\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)=c [/mm] $ für fast alle [mm] $\omega \in \Omega$
[/mm]
[mm] $\gdw \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=c [/mm] $ [mm] \IP [/mm] fast sicher.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 21.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
danke für deine Antwort!
Verstehe ich das richtig, dass also die Aussage hieraus folgt:
(1) [mm]1=P(\lim_{n\to\infty}X_n=c)\le P(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_n=c)[/mm]
bzw aus
(2)
[mm]\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = c[/mm] für alle [mm]\omega\in N[/mm] (wobei N so, dass[mm]P(N^c)=0[/mm])
[mm]\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)=c[/mm] für alle [mm]\omega\in N[/mm] ?
Ist beides richtig?
LG
Christian
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Hiho,
> Verstehe ich das richtig, dass also die Aussage hieraus folgt:
>
> (1) [mm]1=P(\lim_{n\to\infty}X_n=c)\le P(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_n=c)[/mm]
Wie begründest du denn das [mm] $\le$? [/mm] Das ist doch gerade erst das, was du zeigen möchtest, nämlich das gilt:
[mm] $\left\{\lim_{n\to\infty}X_n=c\right\}\subseteq\left\{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_n=c\right\}$
[/mm]
> bzw aus
>
>
> (2)
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = c[/mm] für alle [mm]\omega\in N[/mm] (wobei N so, dass[mm]P(N^c)=0[/mm])
Ja, sofern die Sigma-Algebra vollständig ist. Schreibe lieber:
für alle [mm]\omega\in \overline{\Omega}[/mm] mit [mm] $P(\overline{\Omega}) [/mm] = 1$
>
> [mm]\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)=c[/mm]
> für alle [mm]\omega\in N[/mm] ?
>
>
> Ist beides richtig?
Generell ja. Allerdings ist (1) kein Beweis, sondern verwendet ja bereits das, was du zeigen willst.
Weiterhin kannst du aus $P(A) [mm] \le [/mm] P(B)$ ja nicht $A [mm] \subseteq [/mm] B$ folgern (rein formal).
Gruß,
Gono.
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