Char. Polynom < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Berechnen Sie das charakteristische Polynom von [mm]p_{T}(z)[/mm].
[mm]T:=\vmat{ 0 & \omega \\
-\omega & -f } [/mm] |
Hallo,
wie ich das charakteristische Polynom errechne ist mir schon klar.
Ich rechne ja [mm](T-z*I)[/mm] und habe dann:
[mm]\pmat{ 0 & \omega \\
-\omega & -f } -\pmat{ z & 0 \\
0 & z } =\pmat{ -z & \omega \\
-\omega & -f-z } [/mm]
[mm]det\pmat{ -z & \omega \\
-\omega & -f-z } =(-z)(-f-z)-(-\omega^2)[/mm]
[mm]det=z^2+fz+\omega^2[/mm]
Ich habe ja nicht [mm]det=z^2+fz\red{-}\omega^2[/mm]
da ich ja auch schreiben könnte: [mm]-1*\omega*\omega[/mm]
Soweit zu meiner Rechnung.
Nun meine Frage: reicht es aus, wenn ich das so eintrage? oder soll ich es umformen? Denn wir haben ja noch für [mm]\omega[/mm] und für [mm]f[/mm] etwas gegeben. Aber dann rechne ich auch nur mit Konstanten! Also [mm]f=\bruch{r}{m}[/mm]
und [mm]\omega^2=\bruch{k}{m}[/mm]
Aber ist doch Blödsinn, so viele Brüche da reinzuhauen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Wählen Sie [mm]f[/mm] und [mm]\omega[/mm] so, dass [mm]p_{T}(z)[/mm]
- zwei komplex konjugierte Nullstellen hat
- zwei reelle Nullstellen hat
- eine reelle Nullstelle hat
- die Newtonsche Differentialgleichung zwei reelle periodische Lösungen hat
- die Newtonsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige reelle Lösungen hat, die exponentiell abfallen, falls t sehr größer als 1 wird. |
Ja also mit dem Thema komplexe Nullstellen hab ich so meine Probleme... ich weiß nicht, was ich hier machen soll!
Es geht übrigens um Schwingungsgleichungen.
Ich habe noch einige definierte Parameter gegeben. Falls es von großer Wichtigkeit ist für die Beantwortung meiner Frage oder eine Hilfestellung dann kann ich sie natürlich noch angeben!
Danke schon mal!!
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Hallo lexjou,
> Wählen Sie [mm]f[/mm] und [mm]\omega[/mm] so, dass [mm]p_{T}(z)[/mm]
>
> - zwei komplex konjugierte Nullstellen hat
> - zwei reelle Nullstellen hat
> - eine reelle Nullstelle hat
> - die Newtonsche Differentialgleichung zwei reelle
> periodische Lösungen hat
> - die Newtonsche Differentialgleichung zwei linear
> unabhängige reelle Lösungen hat, die exponentiell
> abfallen, falls t sehr größer als 1 wird.
> Ja also mit dem Thema komplexe Nullstellen hab ich so
> meine Probleme... ich weiß nicht, was ich hier machen
> soll!
>
> Es geht übrigens um Schwingungsgleichungen.
> Ich habe noch einige definierte Parameter gegeben. Falls
> es von großer Wichtigkeit ist für die Beantwortung meiner
> Frage oder eine Hilfestellung dann kann ich sie natürlich
> noch angeben!
Bestimme zunächst die Lösungen der Gleichung
[mm]z^{2}+f*z+w^{2}=0[/mm]
Daraus kannst dann bestimmen, welche Bedingung
für die oben genannten Fälle gelten muss.
>
> Danke schon mal!!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Ja genau da liegt ja mein Problem... wie bestimme ich denn für so eine Gleichung die Lösung?
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Hallo lexjou,
>
> Ja genau da liegt ja mein Problem... wie bestimme ich denn
> für so eine Gleichung die Lösung?
>
Da gibt es z.B. die ABC-Formel, die PQ-Formel.
Du kannst aber auch die quadratische Ergänzung anwenden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:22 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Wenn ich jetzt für [mm]f=\bruch{r}{m}[/mm] einsetze und [mm]\omega^2=\bruch{k}{m}[/mm] , dann habe ich
[mm]0=z^2+\bruch{r}{m}z+\bruch{k}{m}[/mm]
und wenn ich jetzt mit der p-/q-Formel auflöse, hätte ich
[mm]z=-\bruch{r}{2m}\pm\wurzel{\bruch{r^2}{4m^2}-\bruch{k}{m}}[/mm]
Wäre das ein Ansatz um auf den richtigen Weg zu kommen? Ich würde jetzt alles was unter der Wurzel steht auf einen gemeinsamen Nenner bringen und weiter machen...
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Hallo lexjou,
>
> Wenn ich jetzt für [mm]f=\bruch{r}{m}[/mm] einsetze und
> [mm]\omega^2=\bruch{k}{m}[/mm] , dann habe ich
>
> [mm]0=z^2+\bruch{r}{m}z+\bruch{k}{m}[/mm]
>
> und wenn ich jetzt mit der p-/q-Formel auflöse, hätte
> ich
>
> [mm]z=-\bruch{r}{2m}\pm\wurzel{\bruch{r^2}{4m^2}-\bruch{k}{m}}[/mm]
>
> Wäre das ein Ansatz um auf den richtigen Weg zu kommen?
Ja.
> Ich würde jetzt alles was unter der Wurzel steht auf einen
> gemeinsamen Nenner bringen und weiter machen...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:41 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Okay, also die 2 komplex konj. NST, die beiden reelen NST und die eine reelle NST habe ich!
Da habe ich aber mit [mm]f[/mm] und [mm]\omega[/mm] gerechnet. Sollten wir auch so angeben!
Aber die beiden anderen Aufgabenstellungen irritieren mich noch...
Könntest Du mir da nochmal eine Hilfestellung geben?
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Hallo lexjou,
>
> Okay, also die 2 komplex konj. NST, die beiden reelen NST
> und die eine reelle NST habe ich!
> Da habe ich aber mit [mm]f[/mm] und [mm]\omega[/mm] gerechnet. Sollten wir
> auch so angeben!
>
> Aber die beiden anderen Aufgabenstellungen irritieren mich
> noch...
> Könntest Du mir da nochmal eine Hilfestellung geben?
>
Nun, da benötigst Du die Newtonsche Differentialgleichung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:03 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Ja, das weiß ich. Das stand ja auch in der Aufgabe!
Aber wie wende ich das hier konkret an?
Ich muss ja die Lösungen wieder in f und omega angeben.
Muss ich jetzt aber erstmal "umwandeln" und mit r, k und m weiter rechnen oder wie mache ich das?
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Hallo lexjou,
>
> Ja, das weiß ich. Das stand ja auch in der Aufgabe!
> Aber wie wende ich das hier konkret an?
> Ich muss ja die Lösungen wieder in f und omega angeben.
> Muss ich jetzt aber erstmal "umwandeln" und mit r, k und m
> weiter rechnen oder wie mache ich das?
>
Poste dazu die Newtonsche Differentialgleichung.
Im Fall von nur periodischen Lösungen muß
das charakteristische Polynom dieser DGL
komplexe Lösungen haben.
Im Fall von nur exponentiell abfallenden Lösungen muß
das charakterische Polynom dieser DGL zwei negative
Lösungen besitzen.
Gruss
MathePower
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> Hallo lexjou,
>
> >
> > Ja, das weiß ich. Das stand ja auch in der Aufgabe!
> > Aber wie wende ich das hier konkret an?
> > Ich muss ja die Lösungen wieder in f und omega
> angeben.
> > Muss ich jetzt aber erstmal "umwandeln" und mit r, k und m
> > weiter rechnen oder wie mache ich das?
> >
>
>
> Poste dazu die Newtonsche Differentialgleichung.
>
> Im Fall von nur periodischen Lösungen muß
> das charakteristische Polynom dieser DGL
> komplexe Lösungen haben.
>
> Im Fall von nur exponentiell abfallenden Lösungen muß
> das charakterische Polynom dieser DGL zwei negative
> Lösungen besitzen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Aber wie kommst du denn darauf?
Warum müssen die Lösungen komplex sein, damit eine periodische Lösung raus kommt? Und warum braucht es für exponentielles Wachstum negative Lösungen?
Kannst du das bitte etwas genauer erklären?
Vielen Dank schonmal!
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Hallo downloader94,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Hallo lexjou,
> >
> > >
> > > Ja, das weiß ich. Das stand ja auch in der Aufgabe!
> > > Aber wie wende ich das hier konkret an?
> > > Ich muss ja die Lösungen wieder in f und omega
> > angeben.
> > > Muss ich jetzt aber erstmal "umwandeln" und mit r, k und m
> > > weiter rechnen oder wie mache ich das?
> > >
> >
> >
> > Poste dazu die Newtonsche Differentialgleichung.
> >
> > Im Fall von nur periodischen Lösungen muß
> > das charakteristische Polynom dieser DGL
> > komplexe Lösungen haben.
> >
> > Im Fall von nur exponentiell abfallenden Lösungen muß
> > das charakterische Polynom dieser DGL zwei negative
> > Lösungen besitzen.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Aber wie kommst du denn darauf?
> Warum müssen die Lösungen komplex sein, damit eine
> periodische Lösung raus kommt? Und warum braucht es für
> exponentielles Wachstum negative Lösungen?
>
> Kannst du das bitte etwas genauer erklären?
>
Um Lösungsfunktionen zu einer linearen homogenen DGL
bzw. DGL-System zu bestimmen, macht man den Ansatz:
[mm]e^{\lambda*t}[/mm]
Ist [mm]\lambda \in \IR[/mm] so handelt es sich
um Lösungen, die nicht periodisch sind.
Ist [mm]\lambda \in \IC[/mm], so gilt gemäß
der eulerschen Identität, wenn [mm]\lambda=a \pm bi, \ a,b \in \IR[/mm]:
[mm]e^{\lambda t}=e^{\left(a+bi\right) t}=e^{a*t}*\left(\cos\left(b*t\right)+i*\sin\left(b*t\right)\right)[/mm]
Damit sind sowohl Real- als Imaginärteil Lösungen
der DGL bzw. des DGL-Systems.
Diese Lösungen sind periodisch.
Um zu exponentiell abfallenden Lösungen zu kommen,
bedarf es eines negativen Realteils der Lösungen [mm]\lambda \in \IC[/mm]
> Vielen Dank schonmal!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:34 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Also wir haben gegeben:
[mm]x(t)[/mm] ist eine Lösung des DGlS [mm]m*\bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-r*\bruch{dx(t)}{dt}-k*x(t) \Rightarrow \bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-\bruch{r}{m}\bruch{dx(t)}{dt}-\bruch{k}{m}x(t)[/mm]
Und [mm]\vec{y}(t):=\vmat{ x(t) \\
\bruch{1}{\omega}\bruch{dx(t)}{dt} } [/mm]
Was muss ich jetzt tun?
Soll ich also f und omega wieder so angeben, wie in der ersten Aufgabenstellung?
Negative Lösungen... ich weiß nicht. Es wurde angegeben, dass k und m positiv sind und r positiv oder Null!
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Hallo lexjou,
>
> Also wir haben gegeben:
>
> [mm]x(t)[/mm] ist eine Lösung des DGlS
> [mm]m*\bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-r*\bruch{dx(t)}{dt}-k*x(t) \Rightarrow \bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-\bruch{r}{m}\bruch{dx(t)}{dt}-\bruch{k}{m}x(t)[/mm]
>
> Und [mm]\vec{y}(t):=\vmat{ x(t) \\
\bruch{1}{\omega}\bruch{dx(t)}{dt} }[/mm]
>
> Was muss ich jetzt tun?
Erstmal die obige DGL 2. Ordnung richtig
in ein System vpn DGLn 1.Ordnung umwandeln.
> Soll ich also f und omega wieder so angeben, wie in der
> ersten Aufgabenstellung?
Ja.
>
> Negative Lösungen... ich weiß nicht. Es wurde angegeben,
> dass k und m positiv sind und r positiv oder Null!
>
Abwarten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:50 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lexjou |
> Hallo lexjou,
>
> >
> > Also wir haben gegeben:
> >
> > [mm]x(t)[/mm] ist eine Lösung des DGlS
> > [mm]m*\bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-r*\bruch{dx(t)}{dt}-k*x(t) \Rightarrow \bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-\bruch{r}{m}\bruch{dx(t)}{dt}-\bruch{k}{m}x(t)[/mm]
>
> >
> > Und [mm]\vec{y}(t):=\vmat{ x(t) \\
\bruch{1}{\omega}\bruch{dx(t)}{dt} }[/mm]
>
> >
> > Was muss ich jetzt tun?
>
>
> Erstmal die obige DGL 2. Ordnung richtig
> in ein System vpn DGLn 1.Ordnung umwandeln.
>
Ich hab das nicht umgewandelt!!! Das ist so gegeben gewesen!
Oder was meinst Du mit "richtig umwandeln"? und was heißt vpn?
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Hallo lexjou,
>
>
> > Hallo lexjou,
> >
> > >
> > > Also wir haben gegeben:
> > >
> > > [mm]x(t)[/mm] ist eine Lösung des DGlS
> > > [mm]m*\bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-r*\bruch{dx(t)}{dt}-k*x(t) \Rightarrow \bruch{d^2x(t)}{dt^2}=-\bruch{r}{m}\bruch{dx(t)}{dt}-\bruch{k}{m}x(t)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und [mm]\vec{y}(t):=\vmat{ x(t) \\
\bruch{1}{\omega}\bruch{dx(t)}{dt} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was muss ich jetzt tun?
> >
> >
> > Erstmal die obige DGL 2. Ordnung richtig
> > in ein System vpn DGLn 1.Ordnung umwandeln.
> >
>
> Ich hab das nicht umgewandelt!!! Das ist so gegeben
> gewesen!
Ok.
> Oder was meinst Du mit "richtig umwandeln"? und was heißt
> vpn?
Das war ein Verschreiber, sollte heißen "von".
Um mit der Aufgabe konform zu gehen, sollte man die
Newtonsche DGL in ein System von DGLn 1. Ordnung umwandeln.
Setze dazu
[mm]x_{1}\left(t\right)=x\left(t\right)[/mm]
[mm]x_{2}\left(t\right)=x'\left(t\right)=x_{1}'\left(t\right)[/mm]
Dann ist
[mm]x_{2}'==-\bruch{r}{m}x_{2}-\bruch{k}{m}x_{1}[/mm]
Demnach ergit sich das System:
[mm]\pmat{x_{1}' \\ x_{2}'}=\pmat{0 & 1 \\ -\bruch{k}{m} & -\bruch{r}{m}}\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
Definiert man nun [mm]X\left(t\right):=\pmat{x_{1} \left(t\right) \\ x_{2}\left(t\right)}[/mm],
dann steht da:
[mm]X'=\pmat{0 & 1 \\ -\bruch{k}{m} & -\bruch{r}{m}} \ X[/mm]
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | e)
Wählen Sie 'omega', f so, dass die Newtonsche Differentialgleichung zwei reelle periodische Lösungen hat.
f)
Wählen Sie 'omega', f so, dass die Newtonsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige reelle Lösungen hat, die exponentiell abfallen falls t sehr viel größer als 1 wird. |
ich werde leider aus deiner erklärung nicht schlau, ich bin zwar der meinung das für f=0 und omega=1 e) erfüllt ist und das für f=4 und omega=1 f) erfüllt ist, aber eine erklärung dafür habe ich nicht..
bitte um schnelle rückantwort!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> e)
> Wählen Sie 'omega', f so, dass die Newtonsche
> Differentialgleichung zwei reelle periodische Lösungen
> hat.
> f)
> Wählen Sie 'omega', f so, dass die Newtonsche
> Differentialgleichung zwei linear unabhängige reelle
> Lösungen hat, die exponentiell abfallen falls t sehr viel
> größer als 1 wird.
> ich werde leider aus deiner erklärung nicht schlau, ich
> bin zwar der meinung das für f=0 und omega=1 e) erfüllt
> ist
Das stimmt, denn Du bekommst die Lösungen cos(t) und sin(t)
> und das für f=4 und omega=1 f) erfüllt ist,
Auich das stimmt, denn Du bekommst die Lösungen [mm] e^{-2t} [/mm] und t* [mm] e^{-2t}
[/mm]
> aber eine
> erklärung dafür habe ich nicht..
>
> bitte um schnelle rückantwort!!
Gemach, gemach ...
FRED
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Hallo lexjou,
> Berechnen Sie das charakteristische Polynom von [mm]p_{T}(z)[/mm].
>
> [mm]T:=\vmat{ 0 & \omega \\
-\omega & -f } [/mm]
>
> Hallo,
>
> wie ich das charakteristische Polynom errechne ist mir
> schon klar.
> Ich rechne ja [mm](T-z*I)[/mm] und habe dann:
>
> [mm]\pmat{ 0 & \omega \\
-\omega & -f } -\pmat{ z & 0 \\
0 & z } =\pmat{ -z & \omega \\
-\omega & -f-z }[/mm]
>
> [mm]det\pmat{ -z & \omega \\
-\omega & -f-z } =(-z)(-f-z)-(-\omega^2)[/mm]
>
> [mm]det=z^2+fz+\omega^2[/mm]
>
> Ich habe ja nicht [mm]det=z^2+fz\red{-}\omega^2[/mm]
> da ich ja auch schreiben könnte: [mm]-1*\omega*\omega[/mm]
>
> Soweit zu meiner Rechnung.
>
> Nun meine Frage: reicht es aus, wenn ich das so eintrage?
> oder soll ich es umformen? Denn wir haben ja noch für
> [mm]\omega[/mm] und für [mm]f[/mm] etwas gegeben. Aber dann rechne ich auch
> nur mit Konstanten! Also [mm]f=\bruch{r}{m}[/mm]
> und [mm]\omega^2=\bruch{k}{m}[/mm]
>
> Aber ist doch Blödsinn, so viele Brüche da reinzuhauen
> oder?
>
Das ist nur Blödsinn, wenn Du das charakteristische
Polynom für weitere Aufgaben benötigst.
Gruss
MathePower
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