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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Char Poly = (-1)^r*(t^r...)
Char Poly = (-1)^r*(t^r...) < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Char Poly = (-1)^r*(t^r...): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Di 25.05.2010
Autor: Lyrn

Aufgabe
Man zeige, dass das charakteristische Polynom von [mm] \pmat{ 0 & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}} [/mm] gleich [mm](-1)^{r}(t^{r}-c_{r-1}t^{r-1}-\cdots-c_{1}t-c_{0})[/mm] ist.

Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe.
Ich muss die Determinante berechnen und durch Umformungen die gesuchte Gleichung finden.

Also ist die Determinante: [mm] \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t} [/mm]


Ich habe versucht mit Laplace nach der letzten Zeile zu entwickeln, weil ich dann das [mm] c_{0} [/mm] enthalten habe, aber so wirklich komme ich damit nicht weiter, weil ich es nicht richtig zusammen fassen kann.

Kann mir dabei jemand helfen?
lg


        
Bezug
Char Poly = (-1)^r*(t^r...): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 Di 25.05.2010
Autor: Lippel

Hallo,

teile einmal deine erste Zeile der Determinante durch t und addiere das Ergebnis auf die zweite, dann dividierst du die zweite durch t und addierst auf die dritte usw. bis zur vorletzen Zeile
So erhälst du eine Diagonalmatrix, da du die -1 unterhalb der Diagonalen eliminierst. Danach lässt sich die Determinante dann leicht bestimmen.

Bezug
                
Bezug
Char Poly = (-1)^r*(t^r...): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Di 25.05.2010
Autor: Lyrn

Hi, danke erstmal für deine Antwort!

[mm] \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 geteilt durch t}\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 + Zeile 2} [/mm]

[mm] \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -t & & \vdots & c_{1}+\bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 2 durch t}\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{...} [/mm]

[mm] \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 & \bruch{c_{r-2}}{t}+\bruch{c_{r-3}}{t^{2}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}}} [/mm]

Als Ergebnis bekomme ich also [mm] \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r-1}}*(-1)^{r-1} [/mm]

Aber das ist doch noch nicht die gesuchte Gleichung oder?

Bezug
                        
Bezug
Char Poly = (-1)^r*(t^r...): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:18 Di 25.05.2010
Autor: Lippel

Sorry, vielleicht habe ich mich etwas unklar ausgedrück. Du addierst jeweils die Zeile [mm] \frac{1}{t} [/mm] mal auf die darunter. Die Zeile, die du gerade dabei addierst, musst du dabei allerdings unverändert lassen. Die Determinante ist nicht invariant gegenüber der Multiplikation einzelner Zeilen. Du kannst deine Herleitung allerdings fast so stehen lassen, wenn du jedes Mal, wenn du eine Zeile mit [mm] \frac{1}{t} [/mm] multiplizierst, ein t aus der Determinante herausziehst. Dabei verwendest du die Linearität in jeder Zeile:

[mm] $ \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 geteilt durch t}t*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 + Zeile 2} $ t $ \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -t & & \vdots & c_{1}+\bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 2 durch t}t^2*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{...} $ $ t^r*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 & \bruch{c_{r-2}}{t}+\bruch{c_{r-3}}{t^{2}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}}} $ [/mm]

So erhälst du das gewünschte Ergebnis, musst allerdings streng genommen noch eine Fallunterscheidung für [mm] t=0 [/mm] machen.

Lippel

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