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| Aufgabe | a) y * (1 + [mm] x^{2}) [/mm] * [mm] u_{x} [/mm] + [mm] y^{3} [/mm] * [mm] u_{y} [/mm] = [mm] e^{-u}
[/mm]
Bestimmen Sie die allgemeine Loesung u = u(x,y) mit der Charakteristikenmethode.
b) Bestimmen Sie die allgemeine Loesung u = u(x,y) der partiellen Differentialgleichung
3 * [mm] u_{xx} [/mm] - 7 * [mm] u_{xy} [/mm] + 2 * [mm] u_{yy} [/mm] + 2 * [mm] u_{y} [/mm] - [mm] u_{x} [/mm] = 0 |
Hi,
zur Aufgabe a)
Es werden die Proportionen aufgeschrieben: dx : dy: du = y*(1 + [mm] x^{2}) [/mm] : [mm] y^{3} [/mm] : [mm] e^{-u}
[/mm]
So danach werden jeweils zwei Sachen gebildet:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{du}{dy}
[/mm]
Die weitere Berechnung ist fuer mich kein Problem. Aber woher weiss ich, wie ich dieses [mm] "\bruch{dy}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{du}{dy}" [/mm] waehlen soll? Ich haette ja auch anstelle von [mm] \bruch{du}{dy} [/mm] einfach [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] nehmen koennen. Komme ich dann auf das gleiche Ergebnis?
Ich versteh nicht nach welchen Kriterien das ausgewaehlt wird. Der Rest danach ist kein Problem! Waere nett wenn mir jemand helfen koennte.
Zur Aufgabe b)
Ist im Prinzip auch kein Problem. Nachdem die zugehoerige quadratische Gleichung geloest wurde: [mm] 3z^{2} [/mm] - 7z + 2=0 erhaelt man zwei neue Koordinaten: s = 2x + y und t = x + 3y
Soweit so gut. Nun steht im Skript folgendes:
v(s,t) = v(2x + y, x + 3y) = u(x,y)
Logisch. Danach werden die part. Ableitungen gebildet:
[mm] u_{x} [/mm] = 2 [mm] v_{s} [/mm] + [mm] v_{t} [/mm] ; [mm] u_{y} [/mm] = [mm] v_{s} [/mm] + 3 * [mm] v_{t}
[/mm]
Soweit recht einfach aber dann gehts los:
[mm] u_{xy} [/mm] = 2 * [mm] v_{ss} [/mm] + [mm] 7v_{ts} [/mm] + [mm] 3v_{tt}
[/mm]
Und so gehen die Ableitungen weiter aber bei [mm] u_{xy} [/mm] fangen meine Probleme an: Wie komm ich auf diese Ableitung? Ich steh da total auf dem Schlauch.
Waere toll wenn mir jemand helfen koennte! Vielen vielen Dank im voraus.
Mit freundlichen Grueßen Tim
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Hallo evilmaker,
> a) y * (1 + [mm]x^{2})[/mm] * [mm]u_{x}[/mm] + [mm]y^{3}[/mm] * [mm]u_{y}[/mm] = [mm]e^{-u}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die allgemeine Loesung u = u(x,y) mit der
> Charakteristikenmethode.
>
> b) Bestimmen Sie die allgemeine Loesung u = u(x,y) der
> partiellen Differentialgleichung
>
> 3 * [mm]u_{xx}[/mm] - 7 * [mm]u_{xy}[/mm] + 2 * [mm]u_{yy}[/mm] + 2 * [mm]u_{y}[/mm] - [mm]u_{x}[/mm] =
> 0
> Hi,
>
> zur Aufgabe a)
>
> Es werden die Proportionen aufgeschrieben: dx : dy: du =
> y*(1 + [mm]x^{2})[/mm] : [mm]y^{3}[/mm] : [mm]e^{-u}[/mm]
>
> So danach werden jeweils zwei Sachen gebildet:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] und [mm]\bruch{du}{dy}[/mm]
>
> Die weitere Berechnung ist fuer mich kein Problem. Aber
> woher weiss ich, wie ich dieses [mm]"\bruch{dy}{dx}[/mm] und
> [mm]\bruch{du}{dy}"[/mm] waehlen soll? Ich haette ja auch anstelle
> von [mm]\bruch{du}{dy}[/mm] einfach [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] nehmen koennen.
> Komme ich dann auf das gleiche Ergebnis?
Nun, du bekommst hier unterschiedliche Ausdrücke.
Die Lösungsschar der partiellen DGL ist aber dieselbe.
>
> Ich versteh nicht nach welchen Kriterien das ausgewaehlt
> wird. Der Rest danach ist kein Problem! Waere nett wenn mir
> jemand helfen koennte.
Das ist egal welche zwei Gleichungen Du auswaehlst.
In jedem Fall ist es so, daß je zwei dieser Gleichungen
die Lösungen
[mm]v\left(x,y\right)=C_{1}[/mm]
[mm]w\left(x,y\right)=C_{2}[/mm]
ergeben.
Aus denen dann die Lösung der partiellen DGL folgt:
[mm]z\left(v,w\right)=0[/mm]
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> Zur Aufgabe b)
>
> Ist im Prinzip auch kein Problem. Nachdem die zugehoerige
> quadratische Gleichung geloest wurde: [mm]3z^{2}[/mm] - 7z + 2=0
> erhaelt man zwei neue Koordinaten: s = 2x + y und t = x +
> 3y
>
> Soweit so gut. Nun steht im Skript folgendes:
>
> v(s,t) = v(2x + y, x + 3y) = u(x,y)
>
> Logisch. Danach werden die part. Ableitungen gebildet:
>
> [mm]u_{x}[/mm] = 2 [mm]v_{s}[/mm] + [mm]v_{t}[/mm] ; [mm]u_{y}[/mm] = [mm]v_{s}[/mm] + 3 * [mm]v_{t}[/mm]
>
> Soweit recht einfach aber dann gehts los:
>
> [mm]u_{xy}[/mm] = 2 * [mm]v_{ss}[/mm] + [mm]7v_{ts}[/mm] + [mm]3v_{tt}[/mm]
>
> Und so gehen die Ableitungen weiter aber bei [mm]u_{xy}[/mm] fangen
> meine Probleme an: Wie komm ich auf diese Ableitung? Ich
> steh da total auf dem Schlauch.
Die erste Ableitung erfolgt nach der Kettenregel.
Allgemein ist das zunächst
[mm]u_{x}=v_{x}=v_{s}*s_{x}+v_{t}*t_{x}=\bruch{\partial v}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial v}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}[/mm]
Etwas anders geschrieben:
[mm]u_{x}=v_{x}=v_{s}\left( \ s\left(x,y\right),t\left(x,y\right) \ \right)*s_{x}+v_{t}\left( \ s\left(x,y\right),t\left(x,y\right) \right)*t_{x}[/mm]
Für die zweite partielle Ableitung mußt Du [mm]v_{s}[/mm] und [mm]v_{t}[/mm]
wieder nach der Kettenregel differenzieren.
>
> Waere toll wenn mir jemand helfen koennte! Vielen vielen
> Dank im voraus.
>
> Mit freundlichen Grueßen Tim
Gruss
MathePower
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