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| Aufgabe | Seien G eine endliche Gruppe mit Zentrum Z und M ein endlich erzeugter [mm] \IC[G]-Modul [/mm] mit Charakter [mm] \chi. [/mm]
Zeigen Sie:
(1) Der Charakter ist trivial ( [mm] \chi(g) [/mm] = [mm] \chi(1) [/mm] für alle g), genau dann wenn G trivial auf M wirkt.
(2) Z ist zyklisch, falls G einen irreduziblen treuen Charakter hat
(3) Ist G eine p-Gruppe und Z zyklisch, so besitzt G einen irreduziblen treuen Charakter. |
Hallo allerseits,
wir beschäftigen uns derzeit ein wenig mit Darstellungstheorie und ich kann mich damit noch nicht so ganz anfreunden. :/
Jedenfalls: Der Charakter von M ist gerade die Abbildung $ G [mm] \to \IC [/mm] $, die ein Gruppenelement $ g $ auf die Spur der Multiplikation auf M mit $ g $ abbildet. Das heißt also in (1) ist die Rückrichtung klar, da kommt einfach immer die [mm] \IC-Dimension [/mm] von M = n raus. Aber die andere Richtung? Die Einheitsmatrix ist doch nicht die einzige Matrix mit Spur n. Ich hab schon versucht, mir irgendeine Basis zu wählen, die nur existiert, wenn G nicht trivial wirkt. Wenn G nicht trivial wirkt, gibt es ja ein m und ein g mit g m [mm] \neq [/mm] m. Dann könnte ich (g-1) m zu einer Basis ergänzen. Was ich zeigen will, ist dass [mm] \chi(h) \neq \chi(1) [/mm] für ein h, aber ich weiß nicht, wie ich das anstellen soll, da ich ja kaum was weiß über die Darstellungsmatrix der Multiplikation mit h zur gewählten Basis.
Zu (2): Relativ klar ist: Eine abelsche Gruppe ist zyklisch genau dann, wenn sie einen irreduziblen treuen Charakter hat. Man kann nun einen irreduziblen Charakter [mm] \chi [/mm] von G nehmen und diesen auf das Zentrum einschränken, womit man mit Sicherheit wieder einen treuen Charakter erhält, das treu sein ja heißt das [mm] (\chi(g) [/mm] = [mm] \chi(1) [/mm] nur für g=1 erfüllt ist. Aber ich weiß nicht, warum der dann noch irreduzibel sein sollte. Die irreduziblen Charaktere sind ja gerade die, die zu den Komponenten der Wedderburn-Zerlegung gehören und die Wedderburn-Zerlegung von [mm] \IC[Z] [/mm] ist einfach eine Zerlegung in |Z|-viele Kopien von [mm] \IC, [/mm] während [mm] \IC[G] [/mm] sich in irgendwelche Matrizenringe zerlegt und man nicht weiß zu welchem der treue Charakter gehört...
Irreduzibilität kann man auch definieren als Normiertheit bezüglich des Skalarpruktes ( [mm] \varphi, \psi )_{G} [/mm] = [mm] \frac{1}{|G|} \sum_{g} \varphi( g^{-1}) \psi(g) [/mm]
Aber auch hier seh ich erstmal nicht, warum sich Normiertheit vererben sollte auf die Einschränkung.
(3) Meine Idee hier ist: Angenommen es gibt keinen treuen irreduziblen Charakter, das heißt ker( [mm] \chi_{i} [/mm] ) = [mm] \{ g: \chi(g) = \chi(1) \} [/mm] ist ein nicht trivialer Normalteiler für alle irreduziblen Charaktere, womit diese Kerne jeweils ein Element aus dem Zentrum [mm] \neq [/mm] 1 enthalten, da G eine p-Gruppe ist. Und so kommt man hoffentlich irgendwie zu einem Widerspruch zu der Tatsache, dass Z zyklisch ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Do 15.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Seien G eine endliche Gruppe mit Zentrum Z und M ein
> endlich erzeugter [mm]\IC[G]-Modul[/mm] mit Charakter [mm]\chi.[/mm]
> Zeigen Sie:
> (1) Der Charakter ist trivial ( [mm]\chi(g)[/mm] = [mm]\chi(1)[/mm] für
> alle g), genau dann wenn G trivial auf M wirkt.
> (2) Z ist zyklisch, falls G einen irreduziblen treuen
> Charakter hat
> (3) Ist G eine p-Gruppe und Z zyklisch, so besitzt G einen
> irreduziblen treuen Charakter.
> Hallo allerseits,
>
> wir beschäftigen uns derzeit ein wenig mit
> Darstellungstheorie und ich kann mich damit noch nicht so
> ganz anfreunden. :/
>
> Jedenfalls: Der Charakter von M ist gerade die Abbildung [mm]G \to \IC [/mm],
> die ein Gruppenelement [mm]g[/mm] auf die Spur der Multiplikation
> auf M mit [mm]g[/mm] abbildet. Das heißt also in (1) ist die
> Rückrichtung klar, da kommt einfach immer die
> [mm]\IC-Dimension[/mm] von M = n raus. Aber die andere Richtung? Die
> Einheitsmatrix ist doch nicht die einzige Matrix mit Spur
> n. Ich hab schon versucht, mir irgendeine Basis zu wählen,
> die nur existiert, wenn G nicht trivial wirkt. Wenn G nicht
> trivial wirkt, gibt es ja ein m und ein g mit g m [mm]\neq[/mm] m.
> Dann könnte ich (g-1) m zu einer Basis ergänzen. Was ich
> zeigen will, ist dass [mm]\chi(h) \neq \chi(1)[/mm] für ein h, aber
> ich weiß nicht, wie ich das anstellen soll, da ich ja kaum
> was weiß über die Darstellungsmatrix der Multiplikation
> mit h zur gewählten Basis.
Wenn ihr die Orthogonalitaetsrelationen behandelt habt, dann wuerde ich sie hier benutzen. Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis des Raumes der Klassenfunktionen bilden, kannst Du den Beitrag der nichttrivialen irreduziblen Charaktere ausrechnen.
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> Zu (2): Relativ klar ist: Eine abelsche Gruppe ist zyklisch
> genau dann, wenn sie einen irreduziblen treuen Charakter
> hat. Man kann nun einen irreduziblen Charakter [mm]\chi[/mm] von G
> nehmen und diesen auf das Zentrum einschränken, womit man
> mit Sicherheit wieder einen treuen Charakter erhält, das
> treu sein ja heißt das [mm](\chi(g)[/mm] = [mm]\chi(1)[/mm] nur für g=1
> erfüllt ist. Aber ich weiß nicht, warum der dann noch
> irreduzibel sein sollte. Die irreduziblen Charaktere sind
> ja gerade die, die zu den Komponenten der
> Wedderburn-Zerlegung gehören und die Wedderburn-Zerlegung
> von [mm]\IC[Z][/mm] ist einfach eine Zerlegung in |Z|-viele Kopien
> von [mm]\IC,[/mm] während [mm]\IC[G][/mm] sich in irgendwelche Matrizenringe
> zerlegt und man nicht weiß zu welchem der treue Charakter
> gehört...
> Irreduzibilität kann man auch definieren als Normiertheit
> bezüglich des Skalarpruktes ( [mm]\varphi, \psi )_{G}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{|G|} \sum_{g} \varphi( g^{-1}) \psi(g)[/mm]
> Aber auch hier seh ich erstmal nicht, warum sich
> Normiertheit vererben sollte auf die Einschränkung.
Tip: Sei [mm] $z\in [/mm] Z$. Da wir [mm] $\IC$-Vektorraeume [/mm] betrachten, hat $z$ einen Eigenwert; wende die Irreduzibilitaet an.
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> (3) Meine Idee hier ist: Angenommen es gibt keinen treuen
> irreduziblen Charakter, das heißt ker( [mm]\chi_{i}[/mm] ) = [mm]\{ g: \chi(g) = \chi(1) \}[/mm]
> ist ein nicht trivialer Normalteiler für alle irreduziblen
> Charaktere, womit diese Kerne jeweils ein Element aus dem
> Zentrum [mm]\neq[/mm] 1 enthalten, da G eine p-Gruppe ist. Und so
> kommt man hoffentlich irgendwie zu einem Widerspruch zu der
> Tatsache, dass Z zyklisch ist...
Tip: Wieviele Elemente er Ordnung $p$ hat $Z$? Damit haben alle Untergruppen [mm] $\neq [/mm] 1$ mindestens ein Element gemeinsam, insbesondere auch die obigen Durchschnitte.
Edit: Ich meinte oben die Anzahl der Untergruppen der Ordnung $p$; nicht so sehr die Anzahl der Elemente der Ordnung $p$.
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