Charakteristik, Ring, Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 04.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei R ein Ring mit 1. Zeigen Sie:
>
> Ist I [mm]\subset[/mm] R ein Ideal, so gilt entweder char R = 0 oder
> char R [mm]\ge[/mm] char R/I
> Hallo 
>
> Habe diese Aufgabe bearbeitet und bin irgendwie in der
> Mitte steckengeblieben. Hoffe, jemand hat einen Tipp
>
> Es existiert ein Ringhomomorphismus [mm]\varphi: \IZ \rightarrow[/mm]
> R, mit
>
> [mm]\varphi(n)=\begin{cases} n*1_{R}, & \mbox{für } n > 0 \\ 0, & \mbox{für } n = 0 \\ -\varphi(-n), & \mbox{für } n < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Hiermit gilt [mm]\IZ/(char[/mm] R) [mm]\cong[/mm] Im [mm]\varphi \subseteq[/mm] R
>
> Außerdem existiert ein weiterer Ringhomomorphismus [mm]\phi:[/mm] R
> [mm]\rightarrow[/mm] R/I, mit [mm]\phi(n)[/mm] = nI
Das verstehe ich nicht so ganz. Meinst Du [mm] $\phi(n)= [/mm] n+I$?
>
> Hiermit gilt R/(ker [mm]\phi) \cong[/mm] Im [mm](\phi) \subset[/mm] R/I. ker
> [mm](\phi)=I[/mm]
>
> Nun betrachten wir [mm]\pi:=\phi \circ \varphi[/mm]
>
> Es gilt [mm]\IZ/(char[/mm] R) [mm]\cong[/mm] Im [mm](\pi) \subset[/mm] R/I [mm]\gdw[/mm] char R
> = 0
>
> Und nun weiss ich nicht, wie man die zweite Behauptung
> zeigen kann: char R [mm]\ge[/mm] char R/I
>
> Würde mich über einen Tipp freuen
>
> LG
Ich finde das alles recht kompliziert. Also: Zu jedem Ring mit Einselement [mm] $1_{R}$ [/mm] gibt es genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\phi_{R}:\IZ\to [/mm] R$ mit [mm] $1^{\phi_{R}}= 1_{R}$. [/mm] Der Kern dieses eindeutig bestimmten Homomorphismuses liefert uns die Charakteristik von $R$.
Es muessen also die Kerne der Homomorphismen [mm] $\phi_{R}$ [/mm] und [mm] $\phi_{R/I}$ [/mm] verglichen werden. Zeige vielleicht, dass der eine Kern in dem anderen enthalten ist und ueberlege Dir dann, was fuer die Charakteristiken impliziert.
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Hi Topologe,
Super, dass du mit den Homomorphismen arbeitest. Es ist ganz einfach. Wir haben einen Homomorphismus [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow [/mm] R $ und einen Homomorphismus $ [mm] R\longrightarrow [/mm] R/I $. Insbesondere ist der (einzige) Homomorphismus [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow [/mm] R/I $ also durch die Komposition [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow R\longrightarrow [/mm] R/I $ gegeben. Wenn also ein Element im Kern des ersten Homomorphismus liegt, dann sofort auch im Kern der Verknüpfung.
Da - für Charakteristik ungleich Null - das kleinste positive Element im Kern des ersten Homomorphismus die Charakteristik von $ R $ angibt, liegt es also auch im Kern der Verknüpfung, ist somit größergleich dem kleinsten positiven Element hieraus - also größergleich der Charakteristik von $ R/I $.
Jede Aussage dieses Argumentes ist sofort klar, und wir können uns jede Art von Rechnung sparen. Das macht die Argumentation über Morphismen so schön  Und, was das eigentlich schöne ist: Wir haben an keiner Stelle Eigenschaften von $ R/I $ verwendet. Es genügt daher, einen beliebigen Ring $ R'$ mit einem Homomorphismus $ [mm] R\longrightarrow [/mm] R'$ zu betrachten, und wir wissen, dass die Charakteristik des ersten Ringes größergleich der des Zweiten ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Di 07.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Super, vielen Dank euch beiden!
LG
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