Charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
man kennt ja die charakteristische Funktion einer normalverteilten ZV X - wie könnte man denn die charakteristische Funktion von [mm] $X^2$ [/mm] bestimmen? - leider hab ich keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage auch auf :
http://matheplanet.com/
gestellt.
Herzlichen Dank für Vorschläge
Lg
Peter
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Hiho,
> man kennt ja die charakteristische Funktion einer
> normalverteilten ZV X - wie könnte man denn die
> charakteristische Funktion von [mm]X^2[/mm] bestimmen? - leider hab
> ich keinen Ansatz.
so ist das eben, wenn man Dinge nur "kennt".
Daher die Frage: Wie bestimmt man denn die charakteristische Funktion einer normalverteilten ZV X, wenn man sie nicht "kennt"?
Gruß,
Gono
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Gono,
Naja mittels $\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx$
die Dichte von X^2 , wobei $X \sim N(\mu , \sigma^2)$ lautet $f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2 $
würde uns dann also zu
$ \int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx$
führen.
aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?
Lg und Dank
Peter
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Hiho,
> Hallo Gono,
>
> Naja mittels [mm]\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx[/mm]
Aha!
> die Dichte von [mm]X^2[/mm] , wobei [mm]X \sim N(\mu , \sigma^2)[/mm] lautet
> [mm]f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2[/mm]
Habe ich nicht nachgerechet, ob das stimmt…
> würde uns dann also zu
>
> [mm]\int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx[/mm]
Oder alternativ:
[mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-itx^2} f_X(x) [/mm] dx$
> aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?
also meine Darstellung schon 
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> > Hallo Gono,
> >
> > Naja mittels [mm]\varphi_{X}(t) = \int_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)exp(itx)dx[/mm]
>
> Aha!
>
> > die Dichte von [mm]X^2[/mm] , wobei [mm]X \sim N(\mu , \sigma^2)[/mm] lautet
> > [mm]f_{X^2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2[/mm]
>
> Habe ich nicht nachgerechet, ob das stimmt…
>
> > würde uns dann also zu
> >
> > [mm]\int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{x}- \mu}{\sigma})^2} exp(itx)dx[/mm]
>
> Oder alternativ:
>
> [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-itx^2} f_X(x) dx[/mm]
>
> > aber lässt sich das Ding denn ausrechnen ?
>
> also meine Darstellung schon
Das ist also der Weg über [mm] $\mathbb{E}[e^{itX^2}]$ [/mm] ?
Ja stimmt, da krieg ich dann : [mm] $\varphi_{X^2}(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-2 i \sigma^2 t}} e^{\frac{ i t \mu^2}{1- 2 i \sigma^2 t}}$ [/mm] raus.
Aber nun geht's weiter -- habe ich nun [mm] $X_{1},....,X_{n}$ [/mm] die nach [mm] $N(\mu_{1} [/mm] , [mm] \sigma_{1}^2),....,N(\mu_{n},\sigma_{n}^2)$ [/mm] verteilt sind.
und ich möchte die charakteristische Funktion von [mm] $\varphi_{X_{1}^2 +,....,+X_{n}^2}(t)$ [/mm] berechnen -- wenn wir voraussetzen, dass diese ZV unabhängig sind , so läuft das ja über die das Produkt [mm] $\varphi_{X_{1}^2} \cdot [/mm] ..... [mm] \cdot \varphi_{X_{n}^2}$ [/mm] der char. Funktionen -- ich frage mich,ob sich das in vernünftiger Weise darstellen lässt?
>
> Gruß,
> Gono
Lg Peter
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Hiho,
> Das ist also der Weg über [mm]\mathbb{E}[e^{itX^2}][/mm] ?
korrekt, also simpel über die Definition.
> Ja stimmt, da krieg ich dann : [mm]\varphi_{X^2}(t) = \frac{1}{\sqrt{1-2 i \sigma^2 t}} e^{\frac{ i t \mu^2}{1- 2 i \sigma^2 t}}[/mm]
> raus.
Kommt hin, habe das nur für die Standardnormalverteilung durchgerechnet.
> Aber nun geht's weiter -- habe ich nun [mm]X_{1},....,X_{n}[/mm] die
> nach [mm]N(\mu_{1} , \sigma_{1}^2),....,N(\mu_{n},\sigma_{n}^2)[/mm] verteilt sind.
>
> und ich möchte die charakteristische Funktion von
> [mm]\varphi_{X_{1}^2 +,....,+X_{n}^2}(t)[/mm] berechnen -- wenn wir
> voraussetzen, dass diese ZV unabhängig sind , so läuft
> das ja über die das Produkt [mm]\varphi_{X_{1}^2} \cdot ..... \cdot \varphi_{X_{n}^2}[/mm] der char. Funktionen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> -- ich frage mich,ob sich das in
> vernünftiger Weise darstellen lässt?
Was ist denn an [mm] $\produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}$ [/mm] so unvernünftig?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mi 24.08.2016 | | Autor: | Peter_123 |
Da hast du natürlich vollkommen recht :)
Danke
Lg Peter
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Hallo Gono,
eine Sache wäre da noch - wenn ich nun die Dichtefunktion von
[mm] $\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ [/mm] ,wobei [mm] $X_{k} \sim N(\mu_{k} [/mm] , [mm] \sigma_{k}^2)$ [/mm]
bestimmen möchte - dann funktioniert das ja mittels Inversion - also
[mm] $f_{X_{1}^2+,...,+X_{n}^2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx [/mm] $
das sieht jetzt aber schön ein wenig unpraktikabel aus - komme ich um die Numerik noch rum ? :)
Lg Peter
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Hiho,
> eine Sache wäre da noch - wenn ich nun die Dichtefunktion
moment moment! Reden wir von Dichte-Funktionen oder charakteristischen Funktionen??
> von [mm]\sum_{k=1}^{n}X_{k}[/mm] ,wobei [mm]X_{k} \sim N(\mu_{k} , \sigma_{k}^2)[/mm]
>
> bestimmen möchte - dann funktioniert das ja mittels Inversion
nee, das funktioniert am Besten, indem man weiß, dass die [mm] X_k [/mm] unabhängig und die Summe unabhängiger normalverteilter ZV wieder normalverteilt zu den Parametern Summe EW, Summe Varianz ist.
Also: Willst du Dichte oder charakteristische Funktionen bestimmen?
Gruß,
Gono
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Hallo Gono,
ich meine natürlich
[mm] $\sum_{k=1}^{n}X_{k}^2$
[/mm]
diese Summe sollte verallgemeinert chi-Quadrat verteilt sein.
Lg PEter
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Hiho,
sofern die [mm] X_k [/mm] unabhängig sind, ist sie das auch.
Die Frage ist nun, wie du das zeigen willst. Über die Dichte, oder die charakteristische Funktion.
Für einen Weg musst du dich schon entscheiden…
Gruß,
Gono
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Hallo Gono,
ich möchte aus der charakteristischen Funktion die Dichte bestimmen.
und das sollte doch mittels
$ [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx [/mm] $
funktionieren?
da ja
[mm] $\produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}}e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}} [/mm] $
die char. Fkt. ist.
oder?
Lg Peter
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Hiho,
> Hallo Gono,
>
>
> ich möchte aus der charakteristischen Funktion die Dichte
> bestimmen.
>
> und das sollte doch mittels
>
> [mm]\frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} e^{-itx} \produkt_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-2i \sigma_k^2 t}} e^{\frac{ it \mu_k^2}{1- 2 i \sigma_k^2 t}}dx[/mm]
>
> funktionieren?
ja, aber warum so kompliziert?
Berechne doch erst die Dichte von [mm] $X_k^2$ [/mm] und dann ist die Dichte von [mm] $\summe_{k=1}^n X_k^2$ [/mm] wegen der Unabhängigkeit eben einfach das Produkt der Einzeldichten.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mo 29.08.2016 | | Autor: | Peter_123 |
Da hast du recht.
Das mache ich gleich mal.
Lg Peter
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Hallo,
wie würde die Sache eigentlich aussehen, wenn wir eine mehrdimensionale Normalverteilung hätten?
Lg Peter
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Hiho,
was soll denn [mm] $X^2$ [/mm] sein, wenn X mehrdimensional normalverteilt ist?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:23 Di 06.09.2016 | | Autor: | DesterX |
Hallo Gonozal,
mir leuchtet nicht ein, warum hier klar sein soll, dass die Dichte der Verteilung von
[mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
durch das Produkt der einzelnen Dichten dargestellt werden kann. Das trifft allenfalls für die Vektorverteilung
[mm] $(X_1^2, \ldots, X_n^2)$
[/mm]
zu. Zur Bestimmung der Dichten der Verteilung von
[mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
muss wohl die Faltung bemüht werden. Letztlich stellt sich heraus, dass sich die Freiheitsgrade addieren (jedenfalls im Fall N(0,1)-verteilter Zufallsvariablen [mm] $X_i$). [/mm]
Grüße,
Dester
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Hiho,
stell doch bitte das nächste Mal eine Frage auch als solche
> mir leuchtet nicht ein, warum hier klar sein soll, dass die
> Dichte der Verteilung von [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm]
> durch das Produkt der einzelnen Dichten dargestellt werden kann. [...]
> Zur Bestimmung der Dichten der Verteilung von
> [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm] muss wohl die Faltung bemüht werden.
und wie sieht die Faltung aus für unabhängige Zufallsvariablen?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 14:12 Di 06.09.2016 | | Autor: | DesterX |
Hallo.
Ok, sorry. Ich wollte das in der Tat nicht als Frage formulieren.
Um es deutlicher auszudrücken:
Die Dichte, die sich als Faltung zweier Verteilung mit Dichten ergibt, ist NICHT das Produkt der Dichten.
Die Dichte der Verteilung von [mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$ [/mm]
ergibt sich hier als das Faltungsprodukt(!) der Dichten [mm] $f_{X_i}$. [/mm] Dieses stimmt höchstens zufällig mit dem Produkt der einzelnen Dichten überein. Um hier die Faltungsformel anwenden zu dürfen, braucht mandie Unabhängigkeit der [mm] $X_i$. [/mm]
Eventuell verwechselst du das hier mit den charakteristischen Funktionen. Hier wird zur Bestimmung das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen gebildet - auf die Dichten selber trifft das jedoch nicht zu.
Grüße
Dester
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:32 Di 06.09.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
edit: später ausführlicher.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 14:48 Di 06.09.2016 | | Autor: | DesterX |
Du bist aber heute eine harte Nuss.
Du schreibst:
"Seien $ [mm] X_1,\ldots X_n [/mm] $ ZV mit Verteilungsdichten $ [mm] f_i [/mm] $ und f die gemeinsame Verteilungsdichte, so sind die $ [mm] X_i [/mm] $ unabhängig, genau dann, wenn $ f(x) = [mm] \produkt_{i=1}^n f_i(x_i) [/mm] $"
Die Aussage stimmt natürlich, aber der Fragensteller interessiert sich nicht für die Verteilung des Vektors [mm] $(X_1^2,\ldots,X_n^2)$, [/mm] sondern für die Verteilung bzw. die Dichte der Veteilung der Summe [mm] $\sum_{i=1}^n X_i^2$. [/mm] (siehe oben!)
Und dazu schreibst du:
"Berechne doch erst die Dichte von $ [mm] X_k^2 [/mm] $ und dann ist die Dichte von $ [mm] \summe_{k=1}^n X_k^2 [/mm] $ wegen der Unabhängigkeit eben einfach das Produkt der Einzeldichten. "
Das funktioniert so aber nicht und ist falsch.
Grüße,
Dester
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:53 Di 06.09.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Die Aussage stimmt natürlich, aber der Fragensteller
> interessiert sich nicht für die Verteilung des Vektors
> [mm](X_1^2,\ldots,X_n^2)[/mm], sondern für die Verteilung bzw. die
> Dichte der Veteilung der Summe [mm]\sum_{i=1}^n X_i^2[/mm]. (siehe
> oben!)
das hab ich auch eben bemerkt und darum hatte ich meinen Beitrag schon editiert.
Verzeihung für die Aufregung, du hast natürlich recht.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 18:12 Di 06.09.2016 | | Autor: | DesterX |
Passiert
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