Charakteristische Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 10.11.2018 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Sei [mm] \varphi:\IR\rightarrow\IC [/mm] die charakteristische Funktion einer reellwertigen Zufallsvariablen. Außerdem seien [mm] a_1,...,a_d [/mm] reeller Zahlen. Ist [mm] \psi:\IR^d\rightarrown\IC [/mm] mit [mm] \psi(\vec{v})=\varphi(a_1v_1+...+a_dv_d) [/mm] die Charakteristische Funktion eines Zufallsvektors mit Werten in [mm] \iR^d? [/mm] Wenn ja, von welchem Zufallsvektor? |
Hallo,
gegeben ist die Charakteristische Funktion einer ZV, d.h. [mm] \varphi(t)=E(e^{itX}) [/mm] und X sei reelle ZV.
Dann ist [mm] \psi (\vec{v})=\varphi(a_1v_1+...+a_dv_d)=E(e^{i(a_1v_1+...+a_dv_d)X})
[/mm]
Setze [mm] v:=\vektor{ v_1\\ vdots\\v_d} [/mm] und [mm] \vec{X}=\vektor{ a_1X\\ \vdots\\a_dX}
[/mm]
es ist [mm] v^T\vec{X}=(a_1v_1+...+a_dv_d)X
[/mm]
Also erhalten wir [mm] E(e^{i(a_1v_1+...+a_dv_d)X})=E(e^{iv^T\vec{X}})
[/mm]
und so ist die Charakteristische Funktion eines Zufallsvektors definiert.
[mm] \Rightarrow \psi [/mm] definiert eine Charakteristische Funktion für Zufallsvekor [mm] \vec{X}=\vektor{ a_1X\\ \vdots\\a_dX}
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 10.11.2018 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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