Charakteristische Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Sei [mm] \chi_{M} [/mm] charakteristische Funktion einer Menge M definiert durch [mm] \chi_{M} (x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\mbox{ in M} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ nicht in M}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeigen Sie [mm] \chi_{M}\chi_{M}=\chi_{M\cap N} [/mm] und finden Sie eine Formel für [mm] \chi_{M \backslash N}. [/mm] |
Hallo, Leute!
ich hätte gerne eure Hilfe bei der Aufgabe gebraucht.
Komme irgendwie nicht auf die Lösung. In der Vorlesung haben wir nur kurz das Mass von einer Menge definiert, wo es ähnliche Eigenchaften hat, aber wie ich das nachrechen soll, habe ich keinen Schimmer.
Würde mich über eine antvort sehr freuen!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 14.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich vermute, du willst $ [mm] \chi_{M}\chi_{N}=\chi_{M\cap N} [/mm] $ nachweisen.
Waehle ein [mm] $x\in [/mm] X$ (der Obermenge von $M,N_$). Betrachte zwei Faelle:
[mm] $x\in M\cap [/mm] N$ und [mm] $x\notin M\cap [/mm] N$. Was ergibt sich jeweils fuer [mm] $(\chi_{M}\chi_{N})(x)$ [/mm] bzw. fuer [mm] $\chi_{M\cap N}(x)$?
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
Vielen-vielen Dank ersta mal für Ihre Antwort!!!
Wenn [mm] x\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N, dann
[mm] (\chi_{M} \chi_{N})(x)= \chi_{M} (x)\chi_{N}(x)= 1\*1=1, [/mm] weil [mm] \chi_{M}(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\mbox{ in M} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{nicht in M}
\end{matrix}\right. [/mm] Analog für N.
[mm] \chi_{M\cap N}(x)= [/mm] 1, weil [mm] \chi_{M\cap N}(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\mbox{ in M geschnitten N} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{nicht in M geschnitten N}
\end{matrix}\right. [/mm]
Geht das so als Anfang?
Danke
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
Es ist so nett von Ihnen VIELEN DANK!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Luis!
Könnten Sie mir noch mal kurz helfen zu dem 2. Teil der Aufgabe?
ich hab hier das:
man muss eine Formel zu [mm] \chi_{M\backslash N} [/mm] finden, also
[mm] \chi_{M\backslash N}(x)= \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x\mbox{ in M ohne N} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ nicht in M ohne N}
\end{matrix}\right. [/mm]
wenn [mm] x\not\in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N, dann ist [mm] \chi_{M\backslash N}(x)=0 [/mm] und die rechte Seite sollte auch 0 ergeben und ich hab mir überlegt, dass man die Summe schreiben kann und zwar
[mm] \chi_{M\backslash N}=\chi_{M}+\chi_{M\cap N} [/mm] und es sollte stimmen, denn [mm] \chi_{M}=0, [/mm] weil [mm] x\not\in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N und [mm] \chi_{M\cap N}=0=\chi_{M}\* \chi_{N} [/mm] aus dem gleichen Grund.
Wenn [mm] x\in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N, dann [mm] \chi_{M\backslash N}(x)=1 [/mm] in diesem Fall stimmt die Formel auch.
Bin mir aber nicht sicher ob man es so beweisen kann.
Danke vielmals
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 14.10.2009 | | Autor: | luis52 |
2 Tipps:
1) Bestimme die CF von [mm] $\overline{M}$. [/mm] Loesung: [mm] $1-\chi_M$.
[/mm]
2) [mm] $M\setminus N=M\cap\overline{N}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mi 14.10.2009 | | Autor: | luis52 |
???
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 14.10.2009 | | Autor: | math101 |
ich hab mich vertippt. Entschuldigung.
Danke für ihre Tipps. :)) sehr nett von Ihnen.
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