Charakteristische Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 29.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein End. eines n-dim. K-VR V. Ferner gebe es Unterräume [mm] U_1,...,U_r [/mm] von V, so dass V = [mm] U_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_n [/mm] und [mm] f(U_i) \subseteq U_i [/mm] für alles i = 1,...,r gilt
f induziert auf jedem Unterraum [mm] U_i [/mm] einen End. [mm] f_i [/mm] : [mm] U_i \to U_i
[/mm]
Zeige:
Das charakteristische Polynom von f ist Produkt der charakteristischen Polynome der End. [mm] f_i, [/mm] i = 1,...,n |
Hallo,
also das es so ist, ist intuitiv verständlich! Weil ja [mm] f(U_i) \subseteq U_i [/mm] ist muss ja das char. Polynom in min. r lin. Faktoren zerfallen und das sind dann ja die char. Polynome von den Unterräumen. sonst würden die ja garnicht entstehen!?
Aber irgendwie fehlt mir die Idee mit welchen Argumenten ich das richtig beweisen kann!
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Guten Tach
also gegeben ist eine Lineare Abbildung von V [mm] \rightarrow [/mm] V mit [mm] f(U_{i}) \subseteq U_{i}. [/mm] Also ist [mm] U_{i} [/mm] ein invarianter Unterraum. Dann ist f auf [mm] U_{i} [/mm] eingeschränkt wieder ein Endomorphismus hier [mm] f_{i}, [/mm] besitzt also eine Charakteristisches Polynom.
Weiter wird vorausgesetzt dass V= [mm] U_{1}\oplus .............\oplus U_{n}. [/mm] Man kann sich also eine Basis des VR suchen die aus den Basen der Unterraume besteht, denn jedes Element aus V lässt sich als Eindeutige Summe der Basen des Unterraums schreiben(genau dass heißt dass V eine direkte summe der [mm] U_{i} [/mm] 's ist). Also wähle ich mir jetzt eine Basis aus den Basen der [mm] U_{i}. [/mm] Dann stelle ich dafür die Abbildungsmatrix auf. Die wird wegen [mm] f_{i}(U_{i}) \subseteq U_{i} [/mm] eine Blockmatrix.
Jetzt gilt ja das Matrizen von einer Abbildung zu verschiedenen Basen das Gleiche Charakteritische Polynome haben.
Wie sieht das Charakteristishe Polynom einer Blockmatrix aus? Dann bekommst du die Behauptung.
Einen schönen Tach noch
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