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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein End. eines n-dimensionalen K-VR V. Es existiere ein x [mm] \in [/mm] V mit der Eigenschaft, dass
{ [mm] x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x) [/mm] }
eine Basis von V bildet.
Begründen Sie, dass es Elemente [mm] a_1,...,a_{n-1} \in [/mm] K gibt, so dass
[mm] f^n(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}a_i f^i(x)
[/mm]
und zeigen sie, dass
[mm] detf=(-1)^{n+1}a_0 [/mm] |
Hi
Also erst ein mal hab ich die Vermutung das in der Aufgabe ein Fehler ist müsste das nicht heißen
[mm] a_0,...,a_{n-1} [/mm] anstatt [mm] a_1,...,a_{n-1}??? [/mm] oder macht das trotzdem Sinn?
Wenn das stimmt währe mein Ansatz der:
[mm] f^n(x) \in [/mm] V und { [mm] x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x) [/mm] } Basis von V daher
Sei [mm] \lambda_j \in [/mm] K mit [mm] \lambda_j=a_{j-1} [/mm] für j=1,...,n
[mm] f^n(x) [/mm] = [mm] \lambda_1x+\lambda_2f(x)+\lambda_3f^{2}(x)+...+\lambda_nf^{n-1}(x)
[/mm]
= [mm] a_0x+a_1f(x)+a_2f^{2}(x)+...+a_{n-1}f^{n-1}(x)
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n-1}a_i f^i(x)
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Für den zweiten teil hab ich aber noch keine Idee.
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> Sei f: V [mm]\to[/mm] V ein End. eines n-dimensionalen K-VR V. Es
> existiere ein x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V mit der Eigenschaft, dass
> { [mm]x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> eine Basis von V bildet.
> Begründen Sie, dass es Elemente [mm]a_1,...,a_{n-1} \in[/mm] K
> gibt, so dass
> [mm]f^n(x)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n-1}a_i f^i(x)[/mm]
> und zeigen sie,
> dass
> [mm]detf=(-1)^{n+1}a_0[/mm]
> Hi
> Also erst ein mal hab ich die Vermutung das in der Aufgabe
> ein Fehler ist müsste das nicht heißen
> [mm]a_0,...,a_{n-1}[/mm] anstatt [mm]a_1,...,a_{n-1}???[/mm] oder macht das
> trotzdem Sinn?
Hallo,
klar, das muß [mm] a_0 [/mm] heißen.
>
> Wenn das stimmt währe mein Ansatz der:
> [mm]f^n(x) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V und { [mm]x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} Basis
> von V daher
kann man f^n(x) als linearkombination der Basiselemente schreiben, es gibt also a_I\in K mit
> [mm]f^n(x)[/mm] =
> [mm]a_0x+a_1f(x)+a_2f^{2}(x)+...+a_{n-1}f^{n-1}(x)[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n-1}a_i f^i(x)[/mm]
>
> Für den zweiten teil hab ich aber noch keine Idee.
Stell die Darstellende Matrix der Abbildung bzgl. der Basis [mm] \{ x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x)\} [/mm] auf und berechne ihre Determinante.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
> Stell die Darstellende Matrix der Abbildung bzgl. der Basis
> [mm]\{ x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x)\}[/mm] auf und berechne ihre
> Determinante.
Ok also wenn B:= [mm] \{x,f(x),f^{2}(x),...,f^{n-1}(x)\} [/mm] Basis von V
[mm] M^B_B(f) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_{n-2}\\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} } [/mm] := B = [mm] (b_{ij})
[/mm]
dann entwiklung nach 1 zeile
det f = det B = [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] (-1)^(j+1) [mm] a_{1j}detB_{1j} [/mm] und da in der ersten zeile bis auf die n-te spalte immer 0 steht bleibt
= [mm] (-1)^{n-1} a_0 [/mm] det [mm] B_{1n} [/mm] = [mm] (-1)^{n-1} a_0 [/mm] det E [mm] =(-1)^{n-1} a_0 [/mm]
Richtig oder? Danke für den tip
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> Richtig oder?
Ja, das sieht gut aus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
Vielen Dank!!!
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