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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein Beispiel, bei dem das Minimalpolynom einer Matrix berechnet werden soll.
Aber das Ergebnis kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
Also die Matrix ist [mm] M=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Das charakteristische Polynom ist [mm] p(x)=(1-x)^2
[/mm]
Das verstehe ich.
So, da ja das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und auch die gleichen Nullstellen hat wie das charakteristische Polynom, gibt es für das Minimalpolynom zwei Möglichkeiten:
Entweder [mm] m_1(x)=(1-x) [/mm] oder [mm] m_2(x)=(1-x)^2
[/mm]
Außerdem soll ja gelten, dass das Minimalpolynom an der Stelle M die Nullmatrix ergibt.
So, bei [mm] m_1 [/mm] hätte ich dann [mm] m_1(M)=m_1(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=(1*Id-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Aber bei [mm] m_2 [/mm] bekomme ich auch [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Warum ist jetzt (1-x) das Minimialpolynom?
Und warum steht in meinem Beispiel, dass das Minimalpolynom x-1 ist?
(1-x) und (x-1) sind doch zwei verschiedene Polynome.
LG Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
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> Ich habe hier ein Beispiel, bei dem das Minimalpolynom
> einer Matrix berechnet werden soll.
>
> Aber das Ergebnis kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
>
> Also die Matrix ist [mm]M=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom ist [mm]p(x)=(1-x)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das verstehe ich.
>
> So, da ja das Minimalpolynom das charakteristische Polynom
> teilt und auch die gleichen Nullstellen hat wie das
> charakteristische Polynom, gibt es für das Minimalpolynom
> zwei Möglichkeiten:
>
> Entweder [mm]m_1(x)=(1-x)[/mm] oder [mm]m_2(x)=(1-x)^2[/mm]
>
> Außerdem soll ja gelten, dass das Minimalpolynom an der
> Stelle M die Nullmatrix ergibt.
>
> So, bei [mm]m_1[/mm] hätte ich dann [mm]m_1(M)=m_1(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=(1*Id-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Aber bei [mm]m_2[/mm] bekomme ich auch [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Warum ist jetzt (1-x) das Minimialpolynom?
Na, das Minimalpolynom ist doch ein Polynom kleinsten Grades mit den oben erwähnten Eigenschaften.
Und das Polynom [mm] $m_1(x)=1-x$ [/mm] hat Grad 1, das Polynom [mm] $m_2(x)=(1-x)^2=1-2x+x^2$ [/mm] hat Grad 2 ...
>
> Und warum steht in meinem Beispiel, dass das Minimalpolynom
> x-1 ist?
Na, die Polynome $f(x)$ und $-f(x)$ haben doch dieselben Nullstellen.
Ob du nun das char. Polynom über [mm] $\operatorname{det}(A-\lambda\mathbb{E})$ [/mm] berechnest oder über [mm] $\operatorname{det}(\lambda\mathbb{E}-A)$ [/mm] ist einerlei, die unterscheiden sich nur im Vorzeichen ...
>
> (1-x) und (x-1) sind doch zwei verschiedene Polynome.
Haben aber dieselbe NST!
>
> LG Nadine
Gruß
schachuzipus
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