Charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 27.10.2011 | | Autor: | Hugo19 |
| Aufgabe | Aufgabe 3: Gegeben ist die Matrix
A = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 }
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] \lambda [/mm] = 5 ein Eigenwert von A ist.
b) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A und geben Sie jeweils deren algebraische Vielfachheit an. |
Hallo zusammen,
brauche dringend ein paar Tipps für das charakteristische Polynom. Die Vorgehensweise ist mir klar, also Determinante bilden und dann Umformen, meine Lösung hierfür war:
(3 − [mm] \lambda [/mm] )*((4 − [mm] \lambda )^2 [/mm] − 1)
Laut der Lösung der Uni ist das zwar richtig hätte aber noch weiter umgeformt werden sollen, sodass am Schluss da steht
- [mm] (\lambda [/mm] − [mm] 3)^2 [/mm] * [mm] (\lambda [/mm] − 5).
Auf das wäre ich im Leben nicht gekommen, ist aber wichtig für die Bestimmung der algebraischen Vielfachheit... Hat irgendjemand von euch Tipps wie man zu diesem Endergebnis am besten immer kommt? Sozusagen ein "Rezept" für die Bestimmung des charak. Polynoms?
Schreib morgen Klausur und wäre dankbar für jede Hilfe
Danke schonmal
Vg
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Hallo Hugo19,
> Aufgabe 3: Gegeben ist die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 4 & 0 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 4 }[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\lambda[/mm] = 5 ein Eigenwert von A ist.
> b) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A und geben Sie
> jeweils deren algebraische Vielfachheit an.
> Hallo zusammen,
>
> brauche dringend ein paar Tipps für das charakteristische
> Polynom. Die Vorgehensweise ist mir klar, also Determinante
> bilden und dann Umformen, meine Lösung hierfür war:
> (3 − [mm]\lambda[/mm] )*((4 − [mm]\lambda )^2[/mm] − 1)
>
> Laut der Lösung der Uni ist das zwar richtig hätte aber
> noch weiter umgeformt werden sollen, sodass am Schluss da
> steht
> - [mm](\lambda[/mm] − [mm]3)^2[/mm] * [mm](\lambda[/mm] − 5).
>
> Auf das wäre ich im Leben nicht gekommen, ist aber wichtig
> für die Bestimmung der algebraischen Vielfachheit... Hat
> irgendjemand von euch Tipps wie man zu diesem Endergebnis
> am besten immer kommt? Sozusagen ein "Rezept" für die
> Bestimmung des charak. Polynoms?
Na, hier ist es doch einfach. Du hast ja schon den Tipp bekommen, dass [mm] $\lambda=5$ [/mm] eine Nullstelle des char. Polynoms ist.
Da kannst du deinen erhaltenen Term mal komplett ausmultiplizieren und dann den Linearfaktor [mm] $(\lambda-5)$ [/mm] mittels Polynomdivision abspalten:
Rechne also [mm] $\chi(\lambda):(\lambda-5)=...$
[/mm]
Das gibt ein quadratisches Restpolynom, dessen Nullstellen du ja mit den stadtbekannten Mitteln bestimmen kannst (p/q-Formel oder was auch immer)
Allg. gilt: beim Aufstellen des char. Polynoms möglichst versuchen, auszuklammern und nicht alles blindlings auszumultiplizieren.
Hier hattest du ja schon den Tipp mit der einen NST bekommen, da ist das wurscht.
Falls du bei den Rechnungen irgendwie keinen Faktor ausklammern kannst, so sei nicht allzu besorgt.
In Klausuren sind die Aufgaben immer so gestellt, dass es "schöne", als ganzzahlige NST(en) gibt.
Probiere die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes als Kandidaten durch, denn nur die kommen als ganzzahlige NST(en) infrage
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> Schreib morgen Klausur und wäre dankbar für jede Hilfe
Ich drücke die Daumen!
Gruß
schachuzipus
> Danke schonmal
> Vg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 27.10.2011 | | Autor: | Hugo19 |
Super, danke!! :)
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