Charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie das charakteristische Polynom der Matrix B [mm] \in [/mm] Mat(4 , [mm] \IR [/mm] ) mit
B := [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 5 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6} [/mm] |
Normalerweise hab ich kein Problem mit der Berechnung der Determinante aus det( B - /lambda [mm] I_{4}) [/mm] nur bei dieser Aufgabe verwirrt mich der Bruch vor der Matrix.
Ich hoffe es kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Wie sieht die Determinante aus und warum ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das sollte doch alles kein Problem sein. Die gewissen Rechenregeln kannst du dir ja alle nahezu selbst herleiten. Lass uns mal das Problem betrachten:
Wir nehmen als Beispiel mal eine 2x2-Matrix und weiter sei [mm] \alpha\in\IR:
[/mm]
[mm] A:=\alpha\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{\alpha a &\alpha b \\ \alpha c & \alpha d }
[/mm]
Nun wollen wir das charakt. Polynom von A berechnen. Also:
[mm] \det(A-\lambda E_2)=\pmat{\alpha a-\lambda&\alpha b \\ \alpha c & \alpha d-\lambda }=\pmat{\alpha (a-\lambda/\alpha)&\alpha b \\ \alpha c & \alpha (d-\lambda/\alpha) }
[/mm]
[mm] =\alpha\pmat{a-\lambda/\alpha & b \\ c & d-\lambda/\alpha }
[/mm]
Setze jetzt einfach [mm] \nu=\lambda/\alpha [/mm] und dann hast du ja folgende Matrix:
[mm] A=\alpha\pmat{ a-\nu & b \\ c & d-\nu }
[/mm]
Und damit ist ja nahezu alles klar. Berechne die Determinante von
[mm] A'=\pmat{ a-\nu & b \\ c & d-\nu }
[/mm]
und damit das charakterist. Polynom.
Dann bekommst du die Eigenwerte über die Beziehung [mm] \nu=\lambda/\alpha
[/mm]
Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:50 Di 24.09.2013 | | Autor: | Zwieeback |
Okay, das hab ich verstanden und auch versucht so zur rechnen, jedoch ist es ein extrem großer Aufwand und am Ende steht ein langes Polynom, aus welchem ich aber noch keine Nullstelen auslesen kann.
Deswegen hab ich mal nen Blick auf die ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)] geworfen.
Da werden einige Schritte zusammgepackt, die ich nicht nachvollziehen kann.
Wie kommt man im 1. Schritt auf das 1/16 und hat dann im darauffolgenden wieder 1/2.
Und wie kommt man auf die [mm] -2\lambda [/mm] innerhalb der Determinante.
Außerderm auf den Ausdruck [mm] 3-2\lambda [/mm] in der 4.Zeile/Spalte anstatt wie in der Ausgangsmatrix eigentlich [mm] 6-2\lambda.
[/mm]
Danke für die Antwort schonmal!
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Okay, das hab ich verstanden und auch versucht so zur rechnen, jedoch ist es ein extrem großer Aufwand und am Ende steht ein langes Polynom, aus welchem ich aber noch keine Nullstelen auslesen kann.
Deswegen hab ich mal nen Blick auf die Musterlösung geworfen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da werden einige Schritte zusammgepackt, die ich nicht nachvollziehen kann.
Wie kommt man im 1. Schritt auf das 1/16 und hat dann im darauffolgenden wieder 1/2.
Und wie kommt man auf die [mm] -2\lambda [/mm] innerhalb der Determinante.
Außerderm auf den Ausdruck [mm] 3-2\lambda [/mm] in der 4.Zeile/Spalte anstatt wie in der Ausgangsmatrix eigentlich [mm] 6-2\lambda.
[/mm]
Danke für die Antwort schonmal!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hey,
deinen Dateianhang sieht man ja (noch?) nicht.
Aber so viel sei gesagt: Die Determinante schreit schon ein wenig nach Anwendung des Entwicklungssatzes (nach 4. Zeile). Danach kannst du noch einmal entwickeln, oder nutzt die Regel von Sarrus für die restliche 3x3-Determinante.
Wo dein Fehler ist wissen wir nicht, solange du nicht vorrechnest.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Di 24.09.2013 | | Autor: | chrisno |
Im Prinzip hätte ich nichts dagegen, das dieses Bild hier erscheint. Auch wenn es eingescannt ist, reicht der Inhalt meines Erachtens nicht aus, um Urheberrechtsansprüche geltend zu machen. Wenn Du es tatsächlich selbst erzeugt hast, also nicht nur eingescannt, dann teile das noch einmal ausdrücklich mit. Allerdings ist es kein großes Problem, den Formeleditor zu nutzen und das Ganze hier selbst zu edieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Di 24.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du die det=0 haben willst inte®essiert der Vorfaktor nicht.
dass einer der Faktoren [mm] (3-2\lambda [/mm] ist ist klar, also nicht ausmult. danach sieht man direkt? dass [mm] \lambda=2 [/mm] den Rest zu Null macht und kann entsprechend ausklammern.
Es ist immer ungnstig alles auszumultiplizieren! immer erst sehen, ob man was ausklammern kann der Faktor [mm] 4-2\lambda =2*(2-\lambda) [/mm] etwa machen aus 1/16 die 1/2
aber nochmal, für die Nst kümmert dich das nicht!
bis dann, lula
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> Berechnen sie das charakteristische Polynom der Matrix B
> [mm]\in[/mm] Mat(4 , [mm]\IR[/mm] ) mit
> B := [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 5 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6}[/mm]
>
> Normalerweise hab ich kein Problem mit der Berechnung der
> Determinante aus det( B - /lambda [mm]I_{4})[/mm] nur bei dieser
> Aufgabe verwirrt mich der Bruch vor der Matrix.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dieser Verwirrung kannst Du leicht abhelfen:
B := [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 5 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6}[/mm]
=B := [mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1/2 & 5/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 7/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 6/2}[/mm].
Also bekommst Du
[mm]B-\lambda I_4=\pmat{ 2-\lambda & 0 & 1 & 0 \\ -1/2 & 5/2-\lambda & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 7/2-\lambda & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 6/2-\lambda}[/mm]
Jetzt könntest Du mit der Berechnung des charakteristischen Polynoms beginnen.
Aber Du wolltest ja noch wissen, was es mit den [mm] 2\lambda [/mm] und [mm] dem\bruch{1}{16} [/mm] in der Musterlösung - welche ich gestern nachmittagkurz sah,die nun aber gesperrt ist -auf sich hat:
=[mm]\pmat{ \bruch{1}{2}(4-2\lambda) & 0 & \bruch{1}{2}*2 & 0 \\ \bruch{1}{2}*(-1) &\bruch{1}{2}( 5-2\lambda) & \bruch{1}{2}*1 & \bruch{1}{2}*1\\ \bruch{1}{2}*(-1) & \bruch{1}{2}*1&\bruch{1}{2}( 7-2\lambda) & \bruch{1}{2}*(-1) \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2}(6-2\lambda)}[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 4-2\lambda & 0 & 2& 0 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6-2\lambda}[/mm].
Und wenn Du nun weißt, daß für eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix A gilt, daß det(kA)=k^ndet(A),dann weißt Du,daß
[mm]det(B-\lambda I_4)=det(\bruch{1}{2} \pmat{ 4-2\lambda & 0 & 2& 0 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6-2\lambda})=(\bruch{1}{2})^4 det\pmat{ 4-2\lambda & 0 & 2& 0 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6-2\lambda})[/mm]
Laplace sagt uns nun:
...=[mm](\bruch{1}{2})^4 (6-2\lambda) det\pmat{ 4-2\lambda & 0 & 2 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda }[/mm]
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^3 (3-\lambda)[/mm] [mm]det\pmat{ 4-2\lambda & 0 & 2 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda }[/mm]
Statt an dieser Stelle die Determinante mit der Regel von Sarrus auszurechnen, kann man an dieser Stelle noch erlaubte Umformungen machen, welche die Berechnung der Determinante vereinfachen. Man darf ja Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren, und man darf Faktoren aus Zeilen herausziehen.
Guck:
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^3 (3-\lambda) [/mm] *2[mm]det\pmat{ 2-\lambda & 0 & 1 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda }[/mm]
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^2 (3-\lambda)[/mm] [mm]det\pmat{ 2-\lambda & 0 & 1 \\ -1 & 5-2\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 7-2\lambda }[/mm]
Nun könnte man die Det. schon mit Sarrus bearbeiten, man kann aber auch noch gucken, wo man erst durch Addition von Zeilen/Spalten Nullen machen kann, die die Rechnung vereinfachen.
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^2 (3-\lambda)[/mm] [mm]det\pmat{ 3-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 5-2\lambda & 1 \\ 6-2\lambda & 1 & 7-2\lambda }[/mm]
[mm] ...=(\bruch{1}{2})^2 (3-\lambda)[/mm] [mm]det\pmat{ 3-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 5-2\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 5-2\lambda }[/mm].
Nun wieder Laplace..
LG Angela
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> sieht die Determinante aus und warum ?
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