Chebyshev Ungleichung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:58 So 31.01.2010 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | Es ist X ~ Hyp(100,50,50) (k = 0,1,..50)
Mit der Chebyschev-Ungleichung soll
P(X [mm] \le [/mm] 15) [mm] \le \frac{1}{16}
[/mm]
gezeigt werden. |
Laut der Chebyshev Ungleichung heißt es
P(|X-EX| [mm] \ge \epsilon) \ge \frac{1}{\epsilon^{2}}
[/mm]
E(X) = 25 habe ich berechnet und X [mm] \le [/mm] 15 ist vorgegeben.
Wie gehe ich nun weiter vor?
Inwiefern setze ich in die Ungl. das X ein und wie wähle ich ein geeignetes [mm] \epsilon [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 01.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Ein paar Dinge sind mir unklar
> Es ist X ~ B(100,50,50) (k = 0,1,..50)
>
1. Was meinst Du mit B(100,50,50)?
> Laut der Chebyshev Ungleichung heißt es
>
> P(|X-EX| [mm]\le \epsilon) \le \frac{1}{\epsilon^{2}}[/mm]
>
2. Müsste das hier nicht heissen [mm] P(|X-EX|<\epsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}}
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pojo |
X ~ ist Binomialverteilt mit den Parametern 100,50,50.
Und ja, sorry, die Zeichen sind falsch rum..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mo 01.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi Pojo,
ich versteh noch immer nicht ganz. Für mich hat die Binomialverteilung zwei Parameter, die Anzahl der Versuche n und die Eintrittswahrscheinlichkeit für ein Ereignis p. Was bedeutet der dritte Parameter und was ist welcher Parameter in Deiner schreibweise.
Bei der von Dir angegebenen Ungleichung fehlt auch noch der [mm] \sigma [/mm] Parameter.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mo 01.02.2010 | | Autor: | pojo |
Ich war in Gedanken wohl ganz woanders, natürlich meine ich die hypergeom. Verteilung! :-I
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 01.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also mir ist es nicht gelungen den Nachweis über die Tschebyschow-Ungleichung zu erbringen, aber fast.
Die Tschebyschow-Ungleichung lautet
[mm] P(|X-EX|\ge\epsilon)\le\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}}
[/mm]
Der Mittelwert berechnet sich so, wie Du es gemacht hast zu 25 und die Varianz berechnet sich zu
[mm] \sigma^2=n*\bruch{M}{N}\left(1-\bruch{M}{N}\right)\bruch{N-n}{N-1} [/mm] und das ergibt [mm] \sigma^2=\bruch{25^2}{99}
[/mm]
Die Tschebyschow-Ungleichung kann man auch so schreiben
[mm] P(X\le{EX}-\epsilon)+P(X\ge{EX}+\epsilon)\le\frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}}
[/mm]
Wählt man [mm] \epsilon=10 \Rightarrow
[/mm]
[mm] P(X\le{15})+P(X\ge{35})\le\bruch{25^2}{99*100} [/mm] und daraus
[mm] P(X\le{15})\le\bruch{25^2}{99*100}
[/mm]
Die rechte Seite ist jetzt dummerweise etwas gößer als [mm] \bruch{1}{16}. [/mm] Wäre die Varianz aber
[mm] \sigma^2=n*\bruch{M}{N}\left(1-\bruch{M}{N}\right)\bruch{N-n}{N} [/mm] würde [mm] \sigma^2=\bruch{25^2}{100} [/mm] gelten und
[mm] P(X\le{15})\le\bruch{25^2}{100*100}=\bruch{1}{16} [/mm] folgen.
Der Unterschied ist also in der Varianz Berechnung des Letzten Nenners, N-1 anstatt N. Was besseres ist mir nicht eingefallen. Vielleicht ist aber auch die Aufgabenstellung falsch.
Natürlich gilt aber [mm] P(X\le15)\le\bruch{1}{16} [/mm] wenn man die hypergeometrische Verteilung direkt benutzt.
[mm] P(X\le15)=0.00006034
[/mm]
Die Tschebyschow-Ungleichung schätzt eben nur sehr grob ab.
Ich hoffe es hilft obwohl der Beweis nicht erbracht wurde.
mfg ullim
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