Chi-Quadrat-Test? < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Di 17.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Fünf Münzen mit gleichem, aber unbekannten p (p ist die Wahrscheinlichkeit für "Kopf") werden zusammen hundertmal geworfen. Es ergeben sich folgende Häufigkeiten:
Anzahl der "Köpfe": 0 1 2 3 4 5
Häufigkeiten: 3 16 36 32 11 2
Testen Sie die Hypothese, daß die Anzahl der Köpfe pro Wurf binomialverteilt ist [mm] ($\alpha=0.05$).
[/mm]
aus: Büning/ Trenkler, "Nichtparametrische statistische Methoden", 2., völlig neu überarbeitete Auflage, S. 112/ 113 |
Hallo!
Also ich verstehe die Aufgabe so:
Es beschreiben [mm] $X_i=\begin{cases}1, & \mbox{Kopf}\\0, & \mbox{Zahl}\end{cases}$ [/mm] für [mm] $i=1,\hdots,5$ [/mm] die Ausgänge der fünf Münzen, wobei dann [mm] $X_i\sim_{iid}\operatorname{Bin}(1,p)$ [/mm] gilt
Die Nullhypothese lautet nun:
[mm] $H_0: Y:=\sum\limits_{i=1}^{5}X_i\sim\operatorname{Bin}(5,p)$
[/mm]
Die Alternativhypothese lautet:
[mm] $H_1: Y\not\sim\operatorname{Bin}(5,p)$
[/mm]
Ich würde einen [mm] $\chi^2$-Anpassungstest [/mm] machen. Mein Problem ist, daß ich nicht weiß, wie ich hier $p$ schätzen kann.
Hat jemand eine Idee?
Ich dachte zuerst an den Maximum-Likelihood-Schätzer
[mm] $p_{ML}=\overline{X}$, [/mm] also an das arithmetische Mittel, aber ich kann das hier irgendwie nicht anwenden:
Was soll hier das arithmetische Mittel sein?
Edit: Achso, mir ist gerade eingefallen, daß man vielleicht die 100 Würfe mit jeweils 5 Münzen einfach als 500 Einzelwürfe betrachten kann und dann wäre
[mm] $p_{ML}=\frac{1}{500}\sum\limits_{i=1}^{500}x_i=\frac{1}{500}(3\cdot 0+1\cdot 16+2\cdot 36+3\cdot 32+4\cdot 11+5\cdot [/mm] 2)=0.476$
Mit diesem geschätzten $p$ käme ich dann für die Teststatistik auf einen Wert von 146,27.
Damit würde der kritische Wert [mm] $\chi^2_{0.95; 4}=0.711$ [/mm] ja deutlich überschritten, das heißt, die Nullhypothese ist abzulehnen.
Der Unterschied von 146,27 und 0,711 kommt mir aber denn noch etwas zu groß vor, als daß ich glaube, daß ich Recht habe mit meinen Ergebnissen.
Liebe Grüße,
Dennis
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mi 18.07.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Mit diesem geschätzten [mm]p[/mm] käme ich dann für die
> Teststatistik auf einen Wert von 146,27.
Moin, und ich erhalte 1.5132...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mi 18.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Moin, und ich erhalte 1.5132...
Mit denselben Zahlen, die ich benutze?
Da muss ich mich ja gewaltig verrechnet haben. Ich rechne nochmal nach. 
Edit: Ich habe es jetzt auch heraus.
Mein Fehler war, daß ich jeweils die Verteilungsfunktion genommen habe!
Also ich hatte zum Beispiel gerechnet:
[mm] $\tilde{n_2}=100\cdot \left(\binom{5}{0}0.476^00.524^5+\binom{5}{1}0.476^10.524^4\right)$, [/mm] statt einfach nur
[mm] $\tilde{n_2}=100\cdot\binom{5}{1}0.476^10.524^4$
[/mm]
Vielen lieben Dank!
|
|
|
|
