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| Aufgabe | Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegungen der Matrizen:
$$A = [mm] \pmat{1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1} ~\text{und}~ [/mm] B = [mm] \pmat{4&2&4\\2&2&3\\4&3&6}$$ [/mm] |
hi
also, bei Matrix A ist meiner Meinung nach gar keine Cholesky-Zerlegung möglich: $det(A) = 0$, damit ist A nicht positiv definit, und das ist ja die Voraussetzung für eine Cholesky-Zerlegung - richtig?
zur B:
ich habe hier eine LR-Zerlegung gemacht, die laut Maple auch richtig ist:
$$B = LR = [mm] \pmat{1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\1&1&1} \cdot \pmat{4&2&4\\0&1&1\\0&0&1}$$
[/mm]
Erstmal vorweg die Frage: über die LR-Zerlegung finde ich doch die Matrix L, die ich für die Cholesky-Zerlegung $B = [mm] L\cdot L^t$ [/mm] benötige - oder?
Mein Problem ist nun: Rechne ich zur Kontrolle $L [mm] \cdot L^t$ [/mm] aus, erhalte ich nicht wie gewünscht $B$, sondern
[mm] $$L\cdot L^t [/mm] = [mm] \pmat{1&\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&\frac{5}{4}&\frac{3}{2}\\1&\frac{3}{2}&3}$$
[/mm]
Zum Teil Viertel, zum Teil Halbe, zum Teil irgendwas meiner Einträge der Matrix B...
Was mache ich bei der Cholesky-Zerlegung falsch...?
Danke & Gruß, GB
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Hallo GreatBritain,
> Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegungen der Matrizen:
> [mm]A = \pmat{1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1} ~\text{und}~ B = \pmat{4&2&4\\2&2&3\\4&3&6}[/mm]
>
> hi
> also, bei Matrix A ist meiner Meinung nach gar keine
> Cholesky-Zerlegung möglich: [mm]det(A) = 0[/mm], damit ist A nicht
> positiv definit, und das ist ja die Voraussetzung für eine
> Cholesky-Zerlegung - richtig?
Trotzdem kann es eine Cholesky-Zerlegung der Matrix A geben.
>
> zur B:
> ich habe hier eine LR-Zerlegung gemacht, die laut Maple
> auch richtig ist:
>
> [mm]B = LR = \pmat{1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\1&1&1} \cdot \pmat{4&2&4\\0&1&1\\0&0&1}[/mm]
>
> Erstmal vorweg die Frage: über die LR-Zerlegung finde ich
> doch die Matrix L, die ich für die Cholesky-Zerlegung [mm]B = L\cdot L^t[/mm]
> benötige - oder?
L und R müssen doch noch entsprechend modifiziert werden.
Die Matrizen L und R können somit nur als Basis
für die Chloesky-Zerlegung dienen.
>
> Mein Problem ist nun: Rechne ich zur Kontrolle [mm]L \cdot L^t[/mm]
> aus, erhalte ich nicht wie gewünscht [mm]B[/mm], sondern
>
> [mm]L\cdot L^t = \pmat{1&\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&\frac{5}{4}&\frac{3}{2}\\1&\frac{3}{2}&3}[/mm]
>
> Zum Teil Viertel, zum Teil Halbe, zum Teil irgendwas meiner
> Einträge der Matrix B...
>
> Was mache ich bei der Cholesky-Zerlegung falsch...?
Betrachte, die 1. Spalte von L bzw. die 1. Zeile von R.
Dann fällt auf, daß [mm]\pmat{4 & 2 & 4}=4*\pmat{1 \\ 2 \\ 1}^{t}[/mm]
>
> Danke & Gruß, GB
Gruß
MathePower
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