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Um die Herleitung der Choleskyzerlegung in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia nachzuvollziehen, ist meine Frage:
Kann ich vom Spektralsatz,
d.h. von der Tatsache, dass zur symmetrischen Matrix [mm]A[/mm] die Zerlegung [mm]A=BDB^T[/mm] (mit [mm]B[/mm] orthogonal und [mm]D[/mm] die Diagonalmatrix der Eigenwerte von [mm]A[/mm]) existiert,
darauf schließen, dass im Falle [mm]A[/mm] zusätzlich positiv definit, eine Zerlegung in
[mm]A=LKL^T[/mm]
wobei [mm]L[/mm] untere Dreiecksmatrix und [mm]K[/mm] Diagonalmatrix mit positiven Einträgen ist, (siehe Wiki-Artikel)
möglich ist? Oder hat das eine mit dem anderen nix zu tun?
(Ich dachte mir, wenn die Matrix p.definit ist, ist doch schon mal [mm]D[/mm] in der "passenden" Form...)
vielen Dank,
Daniel
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Hallo Daniel,
Ob die Aussage Existenz von [mm] A=BDB^T [/mm] + A p.definit->Cholesky-Zerlegung Sinn macht lässt sich nat. schwer sagen.
> möglich ist? Oder hat das eine mit dem anderen nix zu tun?
> (Ich dachte mir, wenn die Matrix p.definit ist, ist doch
> schon mal [mm]D[/mm] in der "passenden" Form...)
Die Matrix (K) der Cholesky Zerlegung muß mit der Matrix (D) von [mm] A=BDB^T [/mm] nichts zu tun haben.
Bsp.
A= [mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 1 }
[/mm]
Eigenwerte 1,5 und 0,5
Cholesky -Zerlegung
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{\wurzel{3}}{2} }*\pmat{ 1 & \bruch{1}{2} \\ 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2} }
[/mm]
Ich kenn den Beweis der Cholesky - Zerlegung auch nur so wie auf der Diskussionseite von Wikipedia von DaTroll angedeutet.
1. [mm] a_{11}>0 [/mm] - Gausschritt mit [mm] a_{11} [/mm] durchführbar -> erster Schritt der Zerlegung ist möglich
2. Restmatrix ist selbst wieder symm. und pos. definit
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Daniel,
Ich hab den Wikipedia Artikel nochmal gelesen und noch ein paar andere Ungereimtheiten gefunden.
1. Zitat:
> wobei L eine untere Dreiecksmatrix ohne Diagonale
L hat 1en auf der Diagonale
2. Zitat:
> Letzteres erfordert etwa doppelt so viele Operationen, da eine
> Pivotisierung, d.h. Spalten- und/oder Zeilenpermutation, durchgeführt
> werden muss,
Der Grund für den geringeren Rechenaufwand stellt die Erhaltung der Symmetrie der Matrix während Zerlegung dar. Man braucht quasi nur halb soviel Elemente berechnen. Dies liegt zwar daran das keine Pivotisierung erfolgt aber die Pivotisierung selbst hat einen vergleichsweise geringen Aufwand.
3. Zitat:
> Demnach ist die Cholesky-Zerlegung auch besonders geeignet für die
> Zerlegung dünnbesetzter Matrizen.
Ich denke nicht das die Cholesky Zerlegung "Fill in" vermeidet bzw. automatisch gering hält. (außer bei Bandmatrizen aber das ist ja was anderes als "dünn besetzt")
viele Grüße
mathemaduenn
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