Cleverer Logarithmus. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.Bestimmen Sie x aus der Gleichung: [mm] 0,8^{2x-3}=1,6^{x}
[/mm]
2.Die Funktion [mm] 3e^{2x-1} [/mm] ist für alle reelen Zahlen definiert und monoton steigend. Wie lautet ihre Umkehrfunktion? |
Hallihallo,
ich habe direkt zwei kleine Aufgäbelchen für euch.
Wahrscheinlich sind sie in wenigen Minuten zu lösen, nur weiß ich nicht so wirklich wie.
Ich denke, dass man mit dem Logarithmus arbeiten wird um den Exponenten "auf den Boden der Tatsachen" zurückzuholen.
Die Logarithmusgesetzte sind mir, so glaube ich, einigermaßen vertraut - aber da klingelts nicht beim rechnen. Ich denke man muss irgendwas wissen, was ich noch nicht weiß.
Meine Frage ist nun, wo liegt der Trick?
Es fällt ja auf, dass die Basen bei Aufgabe 1 zum Beispiel, 2*0,8=1,6 sind.
Kann man da irgendwie ansetzen? Bevor ich nun weiter im dunkeln tappe, vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben. Das ganze soll ohne Taschenrechner gemacht werden.
Bei der Umkehrfunktion muss man ebenfalls den Exponenten finden, wie ich mir denke, um dann letztlich eine Fuktion x(y) herauszubekommen, daurm diese gleich dazu.
Grüße
Ragna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu 1.: Du hast eine Gleichung der Form
[mm] a^y=b^z
[/mm]
Nun logarithmiere auf beiden Seiten und beachte , dass [mm] log(a^y)= [/mm] ylog(a) ist.
Zu 2: Die Gleichung
$ y= [mm] 3e^{2x-1} [/mm] $
ist nach x aufzulösen, also logarithmiere !
FRED
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Hallo,
erstmal danke für die Antwort :)
Ja, soweit war ich schon. Ich schreibs mal auf.
(2x-3)*log 0,8 = x*log 1,6
[mm] \bruch{2x-3}{x}=\bruch{log 1,6}{log 0,8}
[/mm]
[mm] 2-\bruch{3}{x}=\bruch{log 1,6}{log 0,8}
[/mm]
naja, dann halt nach x aufgelöst. Nur wie soll ich das ohne TR rechnen?
Ist das bisher überhaupt so richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 10.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Schritte sind soweit okay, beachte nur, dass du durch x teilst, und daher den Fall x=0 gesondert betrachten musst.
Marius
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Danke für den Hinweis,
wie gehe ich dann am besten vor und wie stelle ich es dar?
x darf ja nicht 0 werden. Mit nem Definitionsbereich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Do 10.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Am einfachsten geht es, indem du den Fall x=0 mal explizit in die ausgangsfunktion einsetzt:
Also:
$ [mm] 0,8^{2*0-3}=1,6^{0} [/mm] $
[mm] \gdw 0,8^{-3}=1
[/mm]
Und das ist eine falsche Aussage, also verlierst du beim Dividieren durch x keine Lösung.
Einfacher (weil ohne Fallunterscheidung) wäre aber folgender Weg:
[mm] (2x-3)\log(0,8)=x\log(1,6)
[/mm]
[mm] \gdw 2x\log(0,8)-3\log(0,8)=x\log(1,6)
[/mm]
[mm] \gdw 2x\log(0,8)-x\log(1,6)=3\log(0,8)
[/mm]
[mm] \gdw x(2\log(0,8)-\log(1,6))=3\log(0,8)
[/mm]
[mm] \gdw x=\frac{3\log(0,8)}{2\log(0,8)-\log(1,6)}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Do 10.02.2011 | | Autor: | Ragnaroek |
Dieses Forum ist so cool.
Ich danke dir und den anderen natürlich auch! :)
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> Hallo,
>
> erstmal danke für die Antwort :)
>
> Ja, soweit war ich schon. Ich schreibs mal auf.
>
> (2x-3)*log 0,8 = x*log 1,6
>
> [mm]\bruch{2x-3}{x}=\bruch{log 1,6}{log 0,8}[/mm]
>
> [mm]2-\bruch{3}{x}=\bruch{log 1,6}{log 0,8}[/mm]
>
>
> naja, dann halt nach x aufgelöst. Nur wie soll ich das
> ohne TR rechnen?
> Ist das bisher überhaupt so richtig?
>
> Gruß
Ich denke, diese "halboffene" Frage hat sich mittlerweile im weiteren Verlauf geklärt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Do 10.02.2011 | | Autor: | Ragnaroek |
Richtig
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> 1.Bestimmen Sie x aus der Gleichung: [mm]0,8^{2x-3}=1,6^{x}[/mm]
>
> 2.Die Funktion [mm]3e^{2x-1}[/mm] ist für alle reelen Zahlen
> definiert und monoton steigend. Wie lautet ihre
> Umkehrfunktion?
> Das ganze soll ohne Taschenrechner gemacht werden.
Hallo Ragna,
dass bei der Gleichung (1) die Basis auf der rechten Seite
gerade doppelt so groß ist wie die auf der linken Seite,
hilft nicht allzuviel. Dennoch kannst du 1,6 durch 2*0,8
ersetzen und dann [mm] (2*0,8)^x [/mm] zerlegen in [mm] 2^x*0,8^x [/mm] .
Ganz ohne Rechner (oder z.B. Tabelle) wird man aber den
numerischen x-Wert kaum berechnen können.
Die Umkehrfunktion in (2) kann man aber recht leicht
formal darstellen.
LG Al-Chw.
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Das ist schon mal gut, dass ich nun weiß, dass man das so einfach nicht ohne Hilfsmittel lösen kann. Dann reicht nämlich die unausgerechnete Lösung.
f(x) = [mm] 3*e^{2x-1}
[/mm]
y = (2x-1)*ln(3*e)
y = (2x-1)*ln3+1
(noch ne Frage, manchmal sieht man den ln in Betragsstrichen, muss das, sollte das oder ist es nur manchmal der Fall?)
[mm] x=\bruch{y-1}{2*ln3} +\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das si richtig? Kann man noch was vereinfachen?
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Hallo Ragnaroek,
> Das ist schon mal gut, dass ich nun weiß, dass man das so
> einfach nicht ohne Hilfsmittel lösen kann. Dann reicht
> nämlich die unausgerechnete Lösung.
>
> f(x) = [mm]3*e^{2x-1}[/mm]
> y = (2x-1)*ln(3*e)
Was ist hier passiert?
Wenn du auf die Gleichung [mm]y=3\cdot{}e^{2x-1}[/mm] den [mm]\ln[/mm] anwendest, dann bitte auf beiden Seiten (und benutze die Loggesetze richtig bzw. teile zunächst auf beiden Seiten durch 3)
[mm]\ln(y)=\ln\left(3\cdot{}e^{2x-1}\right)=\ln(3)+\ln\left(e^{2x-1}\right)[/mm]
Also [mm]\ln(y)-\ln(3)=2x-1[/mm]
usw.
> y = (2x-1)*ln3+1
>
> (noch ne Frage, manchmal sieht man den ln in
> Betragsstrichen, muss das, sollte das oder ist es nur
> manchmal der Fall?)
Die musst du immer nehmen, wenn im Argument etwas negatives bzw. genauer nicht positives zu stehen droht.
Der Logarithmus ist ja nur für Argumente [mm]>0[/mm] definiert ...
Aber [mm]3\cdot{}e^{2x-1}[/mm] ist für alle [mm]x\in\IR[/mm] ja zum Glück positiv (warum?)
Also brauchst du hier keine Betragstriche.
>
> [mm]x=\bruch{y-1}{2*ln3} +\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das si richtig?
Nein!
> Kann man noch was vereinfachen?
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | Ragnaroek |
Ou Backe, böser Fehler...
Also nochmal - hoffentlich final:
y = [mm] 3*e^{2x-1}
[/mm]
[mm] ln\bruch{y}{3} [/mm] = [mm] lne^{2x-1} [/mm]
(keine Striche weil e hoch irgendwas niemals negativ wird)
[mm] ln\bruch{y}{3} [/mm] = (2x-1)*lne
mit lne = 1
[mm] \bruch{lny-ln3+1}{2}= [/mm] x
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Do 10.02.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hallo zusammen,
man kann die Gleichung nicht ganz ohne TR lösen, aber man kommt schon sehr weit durch geschicktes Umformen, sodass es nur nötig ist, einmal einen Logarithmus tatsächlich mit dem TR zu bestimmen.
Durch geschicktes Umformen und Ausnutzen der Zweierpotenzen in 0,8 (bzw. 8*0,1) und 1,6 kann letztendlich die Gleichung auf die folgende Form gebracht werden:
[mm] 3=(x-3)*log_{2}(\bruch{2}{5})
[/mm]
Der Logarithmus lässt sich dann aufspalten und durch die geschickte Wahl der Basis 2 im Logarithmus kann einer der beiden Log´s im Kopf gezogen werden [mm] (log_{2}(2)=1) [/mm] und es bleibt nur der [mm] log_{2}(5) [/mm] zu berechnen.
Das Auflösen nach x ergibt also: [mm] x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)}
[/mm]
Leider ist der verbleibende Logarithmus kein trivial lösbarer und deshalb muss dennoch der TR bemüht werden. Aber ich dachte mir, ich lass euch trotzdem an meinen Gedanken teilhaben...;)
MfG,
MaTEEler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> man kann die Gleichung nicht ganz ohne TR lösen, aber man
> kommt schon sehr weit durch geschicktes Umformen, sodass es
> nur nötig ist, einmal einen Logarithmus tatsächlich mit
> dem TR zu bestimmen.
>
> Durch geschicktes Umformen und Ausnutzen der Zweierpotenzen
> in 0,8 (bzw. 8*0,1) und 1,6 kann letztendlich die Gleichung
> auf die folgende Form gebracht werden:
>
> [mm]3=(x-3)*log_{2}(\bruch{2}{5})[/mm]
>
> Der Logarithmus lässt sich dann aufspalten und durch die
> geschickte Wahl der Basis 2 im Logarithmus kann einer der
> beiden Log´s im Kopf gezogen werden [mm](log_{2}(2)=1)[/mm] und es
> bleibt nur der [mm]log_{2}(5)[/mm] zu berechnen.
>
> Das Auflösen nach x ergibt also:
> [mm]x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)}[/mm]
>
> Leider ist der verbleibende Logarithmus kein trivial
> lösbarer und deshalb muss dennoch der TR bemüht werden.
Wieso ? Das Ergebnis in der Form
$ [mm] x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)} [/mm] $
ist doch tadellos.
FRED
> Aber ich dachte mir, ich lass euch trotzdem an meinen
> Gedanken teilhaben...;)
>
>
> MfG,
> MaTEEler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 10.02.2011 | | Autor: | MaTEEler |
> > Hallo zusammen,
> >
> > man kann die Gleichung nicht ganz ohne TR lösen, aber man
> > kommt schon sehr weit durch geschicktes Umformen, sodass es
> > nur nötig ist, einmal einen Logarithmus tatsächlich mit
> > dem TR zu bestimmen.
> >
> > Durch geschicktes Umformen und Ausnutzen der Zweierpotenzen
> > in 0,8 (bzw. 8*0,1) und 1,6 kann letztendlich die Gleichung
> > auf die folgende Form gebracht werden:
> >
> > [mm]3=(x-3)*log_{2}(\bruch{2}{5})[/mm]
> >
> > Der Logarithmus lässt sich dann aufspalten und durch die
> > geschickte Wahl der Basis 2 im Logarithmus kann einer der
> > beiden Log´s im Kopf gezogen werden [mm](log_{2}(2)=1)[/mm] und es
> > bleibt nur der [mm]log_{2}(5)[/mm] zu berechnen.
> >
> > Das Auflösen nach x ergibt also:
> > [mm]x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)}[/mm]
> >
> > Leider ist der verbleibende Logarithmus kein trivial
> > lösbarer und deshalb muss dennoch der TR bemüht werden.
>
>
>
>
> Wieso ? Das Ergebnis in der Form
>
> [mm]x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)}[/mm]
>
> ist doch tadellos.
>
> FRED
Das Ergebnis an sich ist tadellos, das sehe ich auch so. Allerdings ist es im Sinne der Ästhetik einer logarithmusfreien Darstellung nicht das, was vielleicht wünschenswert gewesen wäre. "Schöner" (ästhetischer) wäre ein Ergebnis, dem man sofort seinen Wert ansieht, also beispielsweise ohne den Logarithmusterm im Ergebnis. Da sich das in diesem Fall jedoch nicht bewerkstelligen lässt, bleibt dies wohl die am weitesten ästhetische (in meinem Sinne) Lösung ohne Verwendung von TR oder etwaigen (gerundeten) Dezimalbrüchen.
MfG,
MaTEEler
> > Aber ich dachte mir, ich lass euch trotzdem an meinen
> > Gedanken teilhaben...;)
> >
> >
> > MfG,
> > MaTEEler
>
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Hm, hört sich spannend an.
Könntest du mir vielleicht aufschreiben, wie du das gemacht hast?
Grüße :)
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> Hm, hört sich spannend an.
> Könntest du mir vielleicht aufschreiben, wie du das
> gemacht hast?
>
> Grüße :)
Joa, kann ich! Is an sich nichts wildes passiert, nur ein paar (meiner Meinung nach) geschickte Umformungen:
[mm] 0,8^{2x-3}=1,6^{x}
[/mm]
[mm] (\bruch{8}{10})^{2x-3}=(\bruch{16}{10})^{x}
[/mm]
[mm] (2^{3})^{2x-3}=(2^{4})^{x}*10^{-x+2x-3}
[/mm]
[mm] 2^{6x-9-4x}=(2*5)^{x-3}
[/mm]
[mm] 2^{x-6}=5^{x-3}
[/mm]
[mm] 2^{x-3}*2^{-3}=5^{x-3}
[/mm]
[mm] (\bruch{2}{5})^{x-3}=8
[/mm]
Jetzt ist die Stelle, an der zum ersten Mal logarithmiert wird. Da die Basis des Logarithmus, den man anwendet, frei wählbar ist (es muss nur darauf geachtet werden, dass sie überall gleich angewendet wird), wähle ich als Basis 2, denn die 8 ist als Zweierpotenz trivial auflösbar und der Bruch enthält zumindest im Zähler eine Zweierpotenz.
[mm] log_{2}((\bruch{2}{5})^{x-3})=log_{2}(8)
[/mm]
[mm] (x-3)*log_{2}(\bruch{2}{5})=3
[/mm]
Durch Anwenden des Log.-gesetzes für Quotienten im Argument folgt:
[mm] (x-3)*(log_{2}(2)-log_{2}(5))=3
[/mm]
[mm] (x-3)*(1-log_{2}(5))=3
[/mm]
Nun muss nur noch umgestellt werden, also nach x auflösen und es ergibt sich:
[mm] x=3+\bruch{3}{1-log_{2}(5)}
[/mm]
Ich hoffe, meine Schritte waren nachvollziehbar genug, wenn noch Fragen, einfach stellen!;)
MfG,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 10.02.2011 | | Autor: | Ragnaroek |
Jap, das ist sehr gut erklärt!
Ich danke dir für deine Zeit, du hast mir damit sehr geholfen einige Unsicherheiten zu beseitigen. Bald kann ich hoffentlich so Aufgaben ähnlich selbstbewusst angehen, noch ein paar solcher Tage und alles ist prima. ^^
Tolle Sache! :)
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